En el triángulo $ABC$ , el punto $O$ es el centro de la circunferencia excrita que es tangente al lado $BC$ , mientras que las otras dos circunferencias excritas son tangentes a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Una recta que pasa por $O$ perpendicular a $MN$ interseca la recta $BC$ en $P$ . Determine la razón $AB/AC$ , sabiendo que la razón entre el área de $\triangle ABC$ y el área de $\triangle MNP$ es $2R/r$ , donde $R$ es el circunradio y $r$ el inradio de $\triangle ABC$ .

Demuestre que la sucesión $(a_n)$ , donde $$a_n=\sum_{k=1}^n\left\{\frac{\left\lfloor2^{k-\frac12}\right\rfloor}2\right\}2^{1-k},$$ converge, y determine su límite cuando $n\to\infty$ .

Sea $p$ un número real y $f(x)=x^p-x+p$ . Demuestre que: (a) Toda raíz $\alpha$ de $f(x)$ satisface $|\alpha|<p^{\frac1{p-1}}$ ; (b) Si $p$ es un número primo, entonces $f(x)$ no puede escribirse como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

En cada uno de los $n$ puntos dados de una circunferencia se escribe $+1$ o $-1$ . Se realiza la siguiente operación: entre cualesquiera dos números consecutivos de la circunferencia se escribe su producto, y los $n$ números iniciales se borran. Suponga que, para cualquier disposición inicial de $+1$ y $-1$ en la circunferencia, después de un número finito de operaciones todos los números de la circunferencia serán iguales a $+1$ . Demuestre que $n$ es una potencia de dos.

Demuestre que las perpendiculares trazadas desde los puntos medios de las aristas de la base de un tetraedro dado hasta las aristas laterales opuestas tienen un punto común si y solo si el circuncentro del tetraedro, el baricentro de la base y el vértice superior del tetraedro son colineales.

Sean $x,y,z$ enteros positivos coprimos dos a dos y sean $p\ge5$ y $q$ números primos que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $6p$ no divide a $q-1$ ; (ii) $q$ divide a $x^2+xy+y^2$ ; (iii) $q$ no divide a $x+y-z$ . Demuestre que $x^p+y^p\ne z^p$ .

Halle todos los parámetros reales $q$ para los cuales existe un $p\in[0,1]$ tal que la ecuación $$x^4+2px^3+(2p^2-p)x^2+(p-1)p^2x+q=0$$ tiene cuatro raíces reales.

Sean $n$ y $k$ números naturales y $p$ un número primo. Demuestre que si $k$ es el exponente exacto de $p$ en $2^{2^n}+1$ (es decir, $p^k$ divide a $2^{2^n}+1$ , pero $p^{k+1}$ no lo divide), entonces $k$ es también el exponente exacto de $p$ en $2^{p-1}-1$ .

Sea $M$ un punto interior arbitrario de un tetraedro $ABCD$ , y sean $S_A,S_B,S_C,S_D$ las áreas de las caras $BCD,ACD,ABD,ABC$ , respectivamente. Demuestre que $$S_A\cdot MA+S_B\cdot MB+S_C\cdot MC+S_D\cdot MD\ge9V,$$ donde $V$ es el volumen de $ABCD$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

En una habitación hay varios niños y un montón de 1000 dulces. Los niños se acercan al montón uno tras otro en algún orden. Al llegar al montón, cada uno de ellos divide el número actual de dulces del montón por el número de niños de la habitación, redondea el resultado si no es entero, toma del montón el número de dulces resultante y abandona la habitación. Todos los niños varones redondean hacia arriba y todas las niñas redondean hacia abajo. El proceso continúa hasta que todos abandonan la habitación. Demuestre que el número total de dulces recibidos por los varones no depende del orden en que los niños se acercan al montón. Maxim Didin