19 En cada casilla de un tablero de ajedrez de $ m \times n$ está escrito un número natural. El movimiento permitido consiste en sumar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes, de modo que se obtengan números no negativos. (Dos casillas son adyacentes si comparten un lado.) Encuentra una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones.

20 Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P$. Demuestra que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

21 Demuestra que la intersección de un plano y un tetraedro regular puede ser un triángulo obtusángulo y que el ángulo obtuso en cualquier triángulo de este tipo es siempre menor que $120^{\circ}.$

12 Hay n autos esperando en puntos distintos de una pista de carreras circular. Al darse la señal de salida, cada auto arranca. Cada auto puede elegir arbitrariamente cuál de las dos direcciones posibles tomar. Todos los autos tienen la misma velocidad constante. Cada vez que dos autos se encuentran, ambos cambian de dirección (pero no de velocidad). Demuestra que en algún momento cada auto vuelve a su punto de partida.

2 Consideramos dos sucesiones de números reales $x_{1} \geq x_{2} \geq \ldots \geq x_{n}$ y $\ y_{1} \geq y_{2} \geq \ldots \geq y_{n}.$ Sea $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ una permutación de los números $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}.$ Demuestra que $\sum \limits_{i=1}^{n} ( x_{i} -\ y_{i} )^{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{n}$ $( x_{i} - z_{i})^{2}.$

3 Sea $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalo y sea $f : I \to \mathbb{R}$ una función derivable. Sea $J = \left\{ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} : a, b \in I, a < b \right\}$ . Muestre que: $J$ es un intervalo. $J \subseteq f'(I)$ y $f'(I) - J$ contiene a lo sumo $2$ elementos.

3 Tenemos una familia $F$ de subconjuntos de $k$ elementos de un conjunto $X$ con $\left | F \right |=\binom{m}{k}$ ; demuestre que existen al menos $\binom{m}{k-1}$ conjuntos con exactamente $k-1$ elementos tales que cada uno de ellos es subconjunto de al menos un miembro de $F$ . Pedram-Safaei

4 Sea \(ABC\) un triángulo y sea \(\Gamma\) su circuncírculo. Sean \(X\) , \(Y\) y \(Z\) los puntos medios de los arcos \(BC\) , \(CA\) y \(AB\) de \(\Gamma\) , respectivamente, que no contienen el tercer vértice del triángulo. La intersección de los triángulos \(ABC\) y \(XYZ\) forma un hexágono \(DEFGHK\) . Demuestre que las rectas \(DG\) , \(EH\) y \(FK\) son concurrentes.

15 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $X$ e $Y$ se encuentran en las prolongaciones más allá de $D$ de los lados $CD$ y $AD$ respectivamente, de modo que $DX = AB$ y $DY = BC$ . Análogamente, los puntos $Z$ y $T$ se encuentran en las prolongaciones más allá de $B$ de los lados $CB$ y $AB$ respectivamente, de modo que $BZ = AD$ y $BT = DC$ . Sea $M_1$ el punto medio de $XY$ , y $M_2$ el punto medio de $ZT$ . Demuestre que las rectas $DM_1, BM_2$ y $AC$ concurren.

11.5 Todos los divisores de un entero positivo $n$ se listan en orden ascendente: $1=d_1<d_2< \ldots < d_k=n$. Resultó que la cantidad de pares $(d_i,d_{i+1})$ de divisores adyacentes tales que $d_{i+1}$ es un múltiplo de $d_i$ es impar. Demuestre que $n=pm^2$, donde $p$ es el divisor primo más pequeño de $n$ y $m$ es un entero positivo.