11.2 Dos rectas perpendiculares pasan por el punto $F(1;1)$ del plano coordenado. Una de ellas interseca la hipérbola $y=\frac{1}{2x}$ en $A$ y $C$ ($C_x>A_x$), y la otra interseca la parte izquierda de la hipérbola en $B$ y la derecha en $D$. Sea $m=(C_x-A_x)(D_x-B_x)$. Halle el área del cuadrilátero no convexo $ABCD$ (en términos de $m$).

11.3 Se marcan $2021$ puntos sobre una circunferencia. Se trazan $2021$ segmentos con extremos marcados. Después se cuenta el número de puntos distintos donde se intersecan algunos $2$ de los segmentos trazados (los extremos de los segmentos no cuentan como intersecciones). Halle el número máximo que se puede obtener.

11.4 En el plano se dan las circunferencias $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ con centros $O_1,O_2,O_3$ tales que $\omega_1$ es tangente exteriormente a $\omega_2$ y $\omega_3$ en los puntos $P, Q$, respectivamente. Sobre $\omega_1$ se elige arbitrariamente el punto $C$. La recta $CP$ interseca a $\omega_2$ en $B$, y la recta $CQ$ interseca a $\omega_3$ en $A$. El punto $O$ es el circuncentro de $ABC$. Demuestre que el lugar geométrico de los puntos $O$ (cuando $C$ varía) es una circunferencia cuyo centro está en la circunferencia circunscrita de $O_1O_2O_3$

3 Una sucesión finita de enteros $ a_0, a_1, \ldots, a_n$ se llama cuadrática si para cada $ i$ del conjunto $ \{1,2 \ldots, n\}$ tenemos la igualdad $ |a_i - a_{i-1}| = i^2.$ a.) Demuestre que para cualesquiera dos enteros $ b$ y $ c,$ existe un número natural $ n$ y una sucesión cuadrática con $ a_0 = b$ y $ a_n = c.$ b.) Halle el menor número natural $ n$ para el cual existe una sucesión cuadrática con $ a_0 = 0$ y $ a_n = 1996.$

4 Halle todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ para los cuales \[ \left \lfloor \frac{a^2}{b} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{b^2}{a} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{a^2 + b^2}{ab} \right \rfloor + ab.\]

11.5 En las celdas de una tabla $2022 \times 2022$ se escriben los números del $1$ al $2022^2$, en cada celda exactamente un número, y todos los números se usan una sola vez. En cada fila, Vlad marca el segundo número más grande de ella; Dima hace lo mismo en cada columna. Resultó que los muchachos marcaron $4044$ números distintos dos a dos, y hay $k$ números marcados por Vlad, cada uno de los cuales es menor que todos los números marcados por Dima. Halle el máximo valor posible de $k$

11.6 La circunferencia inscrita de un triángulo rectángulo $ABC$ toca la hipotenusa $AB$ en $P$, y a $BC$ y $AC$ en $R$ y $Q$, respectivamente. $C_1$ y $C_2$ son los reflejos de $C$ respecto a $PQ$ y $PR$. Halle el ángulo $C_1IC_2$, donde $I$ es el incentro de $ABC$.

11.7 Los números $-1011, -1010, \ldots, -1, 1, \ldots, 1011$ forman, en algún orden, la sucesión $a_1,a_2,\ldots, a_{2022}$. Halle el máximo valor posible de la suma $$|a_1|+|a_1+a_2|+\ldots+|a_1+\ldots+a_{2022}|$$

11.8 Un polinomio $P(x,y)$ con coeficientes enteros satisface las dos condiciones siguientes: 1. para todo entero $a$ existe exactamente un entero $y$ tal que $P(a,y)=0$; 2. para todo entero $b$ existe exactamente un entero $x$ tal que $P(x,b)=0$. a) Demuestre que si el grado de $P$ es $2$, entonces es divisible por $x-y+C$ para algún entero $C$, o por $x+y+C$ para algún entero $C$. b) ¿Existe un polinomio $P$ que no sea divisible por ninguno de $x-y+C$ ni $x+y+C$ para enteros $C$?

G5 Un punto $P$ se encuentra en el interior del triángulo $ABC$ . Las rectas $AP, BP$ y $CP$ intersecan a $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$ , respectivamente. Demuestre que si dos de los cuadriláteros $ABDE, BCEF, CAFD, AEPF, BFPD$ y $CDPE$ son concíclicos, entonces los seis son concíclicos.