7 Demuestra que cualesquiera dos puntos dentro de un $ n-$ágono regular $ E$ pueden unirse mediante dos arcos circulares contenidos en $ E$ que se encuentren formando un ángulo de al menos $ \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdot \pi.$

8 Sea $ R$ un rectángulo que es la unión de un número finito de rectángulos $ R_i,$ $ 1 \leq i \leq n,$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Los lados de cada rectángulo $ R_i$ son paralelos a los lados de $ R.$ (ii) Los interiores de cualesquiera dos rectángulos distintos $ R_i$ son disjuntos. (iii) Cada rectángulo $ R_i$ tiene al menos un lado de longitud entera. Demuestra que $ R$ tiene al menos un lado de longitud entera. Variante: El mismo problema pero con paralelepípedos rectangulares que tengan al menos un lado entero.

9 $ \forall n > 0, n \in \mathbb{Z},$ existen enteros únicos $ a_n, b_n, c_n \in \mathbb{Z}$ tales que \[ \left(1 + 4 \cdot \sqrt[3]{2} - 4 \cdot \sqrt[3]{4} \right)^n = a_n + b_n \cdot \sqrt[3]{2} + c_n \cdot \sqrt[3]{4}.\] Demuestra que $ c_n = 0$ implica $ n = 0.$

10 Sea $ g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $ \omega \in \mathbb{C}$ , $ a \in \mathbb{C}$ , $ \omega^3 = 1$ , y $ \omega \ne 1$ . Demuestra que existe una y solo una función $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que \[ f(z) + f(\omega z + a) = g(z),z\in \mathbb{C} \]

19 Sean $ a_1\geq \cdots \geq a_n \geq a_{n + 1} = 0$ números reales. Muestre que \[ \sqrt {\sum_{k = 1}^n a_k} \leq \sum_{k = 1}^n \sqrt k (\sqrt {a_k} - \sqrt {a_{k + 1}}). \] Propuesto por Rumania

12 Hay n autos esperando en puntos distintos de una pista de carreras circular. Al darse la señal de salida, cada auto arranca. Cada auto puede elegir arbitrariamente cuál de las dos direcciones posibles tomar. Todos los autos tienen la misma velocidad constante. Cada vez que dos autos se encuentran, ambos cambian de dirección (pero no de velocidad). Demuestra que en algún momento cada auto vuelve a su punto de partida.

13 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la recta $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Muestra que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \]

13 Halle todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] sea un divisor de $abc-1.$

14 Un cuadrilátero bicéntrico es aquel que es tanto inscribible como circunscribible en un círculo, es decir, existen tanto el incírculo como el circuncírculo. Demuestra que para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales.

4 El vértice $ A$ del triángulo acutángulo $ ABC$ es equidistante del circuncentro $ O$ y del ortocentro $ H.$ Determine todos los valores posibles para la medida del ángulo $ A.$