G1 En un triángulo $ABC$ , sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , respectivamente, y sea $F$ el pie de la altura trazada desde $A$ . Demuestre que la recta $DE$ , la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ y la circunferencia circunscrita de $ACF$ pasan por un punto común. Versión alterna: En un triángulo $ABC$ , sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , respectivamente. La recta $DE$ y la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ se cortan en $G$ . Demuestre que $\angle AGC$ es un ángulo recto.

4b Los pentágonos $P_1P_2P_3P_4P_5$ y $I_1I_2I_3I_4I_5$ son cíclicos, donde $I_i$ es el incentro del triángulo $P_{i-1}P_iP_{i+1}$ (considerados cíclicamente, es decir, $P_0=P_5$ y $P_6=P_1$ ) . Demuestre que las rectas $P_1I_1, P_2I_2, P_3I_3, P_4I_4$ y $P_5I_5$ se cortan en un único punto.

G2 Sea $P$ un punto sobre la mediana $AM$ de un triángulo $ABC$ . Suponga que las tangentes a las circunferencias circunscritas de $ABP$ y $ACP$ en $B$ y $C$ respectivamente se cortan en $Q$ . Demuestre que $\angle PAB = \angle CAQ$ .

G3 Dado un triángulo $ABC$ , sea $D$ la intersección de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB$ , y la recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$ . Sea $P$ un punto interior del triángulo. Demuestre que $DAPB$ es cíclico si y solo si $\angle BAP = \angle CBP$ .

G4 Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $[AB]$ . Las bisectrices de $\angle BAC$ y $\angle ABC$ cortan a la circunferencia $\Gamma$ nuevamente en $D$ y $E$ , respectivamente. La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ corta a las rectas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $D, E, F$ y $G$ se encuentran sobre la misma recta.

G5 Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ toca los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ en $X$ , $Y$ , $Z$ respectivamente. La recta que pasa por $Z$ y $Y$ interseca a $BC$ prolongado en $X^\prime$ . Las rectas que pasan por $B$ paralelas a $AX$ y $AC$ intersecan a $AX^\prime$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demuestre que $AK = KL$ .

G6 Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . La recta perpendicular a $AB$ que pasa por $C$ corta a $AB$ en $D$ y a $\Gamma$ nuevamente en $E$ . La bisectriz del ángulo $C$ corta a $AB$ en $F$ y a $\Gamma$ nuevamente en $G$ . La recta $GD$ corta a $\Gamma$ nuevamente en $H$ y la recta $HF$ corta a $\Gamma$ nuevamente en $I$ . Demuestre que $AI = EB$ .

C1 Se realiza un torneo de ajedrez con la participación de niñas y niños. Las niñas son el doble de los niños. Cada jugador juega contra cada otro jugador exactamente una vez. Al final del torneo no hubo empates y la razón entre las victorias de las niñas y las victorias de los niños fue $\frac{7}{9}$ . ¿Cuántos jugadores participaron en el torneo?

C2 Adamu y Afaafa eligen, cada uno en su turno, enteros positivos como coeficientes de un polinomio de grado $n$ . Adamu gana si el polinomio obtenido tiene una raíz entera; en caso contrario, gana Afaafa. Afaafa juega primero si $n$ es impar; en caso contrario, Adamu juega primero. Demuestre que: Adamu tiene una estrategia ganadora si $n$ es impar. Afaafa tiene una estrategia ganadora si $n$ es par.

En un grupo de $10$ personas, entre cualesquiera tres personas hay alguien que es amigo de las otras dos. Demuestre que estas $10$ personas pueden dividirse en dos grupos de $5$ tales que en cada grupo todos son amigos de todos los demás. Propuesto por Mykhailo Shtandenko