2 Considera el sistema \begin{align*} x + y &= z + u,\\ 2xy & = zu. \end{align*} Encuentra el mayor valor de la constante real $m$ tal que $m \leq x/y$ para cualquier solución entera positiva $(x,y,z,u)$ del sistema, con $x \geq y$.

4 Sea $p \geq 5$ un número primo. Demuestra que existe un entero $a$ con $1 \leq a \leq p-2$ tal que ni $a^{p-1}-1$ ni $(a+1)^{p-1}-1$ es divisible por $p^2$.

5 Sean \(a > b > c > d\) enteros positivos y supongamos que \[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Demuestra que \(ab + cd\) no es primo.

1 Sea \( T \) el conjunto de todas las ternas ordenadas \( (p,q,r) \) de enteros no negativos. Encuentra todas las funciones \( f: T \rightarrow \mathbb{R} \) que satisfacen \[ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; pqr = 0, \\ 1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) & \\ + f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) & \\ + f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{en otro caso} \end{cases} \] para todos los enteros no negativos \( p \) , \( q \) , \( r \) .

Demuestra que para cada entero positivo \( n \) existen \( n \) enteros positivos consecutivos, ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

1 Sea $n$ un entero positivo. Cada punto $(x,y)$ del plano, donde $x$ y $y$ son enteros no negativos con $x+y<n$, se colorea de rojo o azul, sujeto a la siguiente condición: si un punto $(x,y)$ es rojo, entonces también lo son todos los puntos $(x',y')$ con $x'\leq x$ y $y'\leq y$. Sea $A$ el número de formas de elegir $n$ puntos azules con coordenadas $x$ distintas, y sea $B$ el número de formas de elegir $n$ puntos azules con coordenadas $y$ distintas. Demuestra que $A=B$.

25 Sean $ X,Y,Z$ los puntos medios de los arcos menores $ BC,CA,AB$ respectivamente (arcos de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ ) . $ M$ es un punto arbitrario sobre $ BC$ , y las paralelas trazadas por $ M$ a las bisectrices interiores de $ \angle B,\angle C$ cortan a las bisectrices exteriores de $ \angle C,\angle B$ en $ N,P$ respectivamente. Muestre que $ XM,YN,ZP$ son concurrentes.

6 Para un triángulo \( ABC,\) sea \( k\) su circunferencia circunscrita con radio \( r.\) Las bisectrices de los ángulos internos \( A, B,\) y \( C\) del triángulo intersecan respectivamente a la circunferencia \( k\) nuevamente en los puntos \( A', B',\) y \( C'.\) Demuestra la desigualdad \[ 16Q^3 \geq 27 r^4 P,\] donde \( Q\) y \( P\) son las áreas de los triángulos \( A'B'C'\) y \(ABC\) respectivamente.

2 Sea $a_0, a_1, a_2, \ldots$ una sucesión infinita arbitraria de números positivos. Demuestra que la desigualdad $1 + a_n > a_{n-1} \sqrt[n]{2}$ se cumple para una infinidad de enteros positivos $n$.

57 Sean $ v_1, v_2, \ldots, v_{1989}$ un conjunto de vectores coplanarios con $ |v_r| \leq 1$ para $ 1 \leq r \leq 1989.$ Demuestre que es posible encontrar $ \epsilon_r$ , $1 \leq r \leq 1989,$ cada uno igual a $ \pm 1,$ tales que \[ \left | \sum^{1989}_{r=1} \epsilon_r v_r \right | \leq \sqrt{3}.\]