19 Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de todos los números reales. Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(xy) + f(f(y)) = f((x + 1)f(y))$$ para todos los números reales $x$ , $y$ . Propuesto por MV Adhitya y Kanav Talwar Rijul

15 Sea $\triangle ABC$ un triángulo escaleno con alturas $BE, CF$, circuncentro $O$ y ortocentro $H$. Sea $R$ un punto en la recta $AO$. Los puntos $P, Q$ están en las rectas $AB, AC$ respectivamente, tales que $RE \perp EP$ y $RF \perp FQ$. Demuestre que $PQ$ es perpendicular a $RH$. Propuesto por Rijul Saini.

6 Encuentre los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

3 Demuestre que la ecuación \[ x^n + 1 = y^{n+1}, \] donde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones en enteros positivos $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ sean primos entre sí.

11 ¿Existe una función $f:\{1,2,...,2025\}^2 \rightarrow \{1,2,...,2025\}$ tal que: $\bullet$ para todo entero positivo $i \leqslant 2025$, los números $f(i,1),f(i,2),...,f(i,2025)$ son todos distintos, y $\bullet$ para cualesquiera enteros positivos $i \leqslant 2025$ y $j \leqslant 2024$, $f(f(i,j),f(i,j+1))=i$? Propuesto por Shantanu Nene Rijul

10 Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes (externa o internamente) en un punto $P$. La recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demuestre que la recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$.

5 Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números reales no nulos y distintos entre sí tales que $$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} = 4 \text{ y } ac = bd. $$ Demuestre que $$ \frac{a}{c} + \frac{b}{d} + \frac{c}{a} + \frac{d}{b} \leq -12 $$ y que $-12$ es el máximo.

1 Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La mediatriz de $AB$ corta a $BC$ en el punto $X$, y la mediatriz de $AC$ corta a $BC$ en el punto $Y$. Demuestre que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC= XY$ (o en otras palabras: demuestre que una condición suficiente para que $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$). Demuestre que esta condición no es necesaria, y proporcione una condición necesaria y suficiente para que $BC = XY$.

11 Diez apostadores comenzaron a jugar con la misma cantidad de dinero. En cada turno, lanzaban cinco dados. En cada etapa, el apostador que había lanzado pagaba a cada uno de sus 9 oponentes $\frac{1}{n}$ veces la cantidad que ese oponente poseía en ese momento. Lanzaron y pagaron uno tras otro. En la décima ronda (es decir, cuando cada apostador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados mostraron un total de 12 y, después del pago, resultó que cada jugador tenía exactamente la misma suma que tenía al principio. ¿Es posible determinar el total mostrado por los dados en las nueve rondas anteriores?

6 Un círculo está dividido en $n$ sectores ($n \geq 3$). Cada sector puede ser llenado con $1$ o $0$. Elija cualquier sector $\mathcal{C}$ ocupado por un $0$, cámbielo por un $1$ y simultáneamente cambie los símbolos $x, y$ en los dos sectores adyacentes a $\mathcal{C}$ por sus complementos $1-x$, $1-y$. Repetimos este proceso mientras exista un cero en algún sector. En la configuración inicial hay un $0$ en un sector y $1$s en los demás. ¿Para qué valores de $n$ podemos terminar este proceso?