2 Demuestre que existen infinitos triángulos no congruentes que satisfacen las siguientes condiciones: i) las longitudes de sus lados son enteros primos entre sí; ii) el área es un número entero; iii) las longitudes de las alturas no son números enteros.

11 Diez apostadores comenzaron a jugar con la misma cantidad de dinero. En cada turno, lanzaban cinco dados. En cada etapa, el apostador que había lanzado pagaba a cada uno de sus 9 oponentes $\frac{1}{n}$ veces la cantidad que ese oponente poseía en ese momento. Lanzaron y pagaron uno tras otro. En la décima ronda (es decir, cuando cada apostador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados mostraron un total de 12 y, después del pago, resultó que cada jugador tenía exactamente la misma suma que tenía al principio. ¿Es posible determinar el total mostrado por los dados en las nueve rondas anteriores?

4 Dado un triángulo $ABC$, sea $D$ la intersección de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB$ y la recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo. Demuestre que $DAPB$ es cíclico si y solo si $\angle BAP = \angle CBP$.

6 En el instante $t=0$, Hobbes escribe números reales positivos en los vértices de un polígono regular $P_1P_2\dots P_n$. Suponga que después de un número par de segundos, los números $x$ e $y$ están escritos en $P_i$ y $P_{i+1}$ respectivamente. Entonces, un segundo después, Hobbes actualiza el número en $P_i$ a $x+\frac{1}{y}$. Aquí $i$ se toma módulo $n$. ¿Para qué pares $(i,j)$ (en términos de $n$) podemos garantizar (sin saber qué escribió Hobbes) que en algún momento el número en $P_i$ es al menos tan grande como el número en $P_j$? Nota. Todos los números se actualizan solo cuando ha pasado un número impar de segundos. Si todos los números fueran inicialmente $1$, entonces después de $1$ segundo todos se actualizarían a $2$, luego en $T=3s$, todos se actualizarían a $2.5$ y así sucesivamente. Propuesto por Pranjal Srivastava Rijul

2 Se celebra un torneo de ajedrez con la participación de niños y niñas. El número de niñas es el doble que el de niños. Cada jugador juega contra cada uno de los otros jugadores exactamente una vez. Al finalizar el torneo, no hubo empates y la razón entre las victorias de las niñas y las victorias de los niños fue $\frac{7}{9}$. ¿Cuántos jugadores participaron en el torneo?

1 Dados los números reales $x$, $y$ y $z$, demuestre que $4x(y+z)(xy+xz+yz)+y^{2}z^{2} \ge 0$

11.4 Un tablero de $2025 \times 2025$ está lleno con los números $1, 2, \ldots, 2025$, cada uno apareciendo exactamente $2025$ veces. Demuestre que existe una fila o columna con al menos $45$ números distintos.

2 Sea $A$ un conjunto infinito de números reales que contiene al menos un número irracional. Demuestre que para todo número natural $n > 1$ existe un subconjunto $S$ de $A$ con $n$ elementos tal que la suma de los elementos de $S$ es un número irracional.

Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ yacen sobre un círculo, en ese orden en sentido horario, tales que existe un punto $E$ en el segmento $CD$ con la propiedad de que $AD = DE$ y $BC = EC$. Demuestre que el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$ se encuentra sobre la recta $CD$.

1 Suponga que los números positivos $x$ e $y$ satisfacen $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$. Demuestre que $x^{3}+y^{3}\leq 2$. N.T.TUAN