14 Sea $\{x_n\}$ una sucesión de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\] Demuestre que, para todo número natural $k$, existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

15 Demuestre que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

6 En un tablero de 8 × 8, una rana salta de casilla en casilla (siempre desde la casilla en la que se encuentra a una casilla que comparte un lado con ella). Partiendo de una casilla de esquina del tablero, la rana realiza 64 saltos, de modo que visita todas las casillas del tablero y finalmente regresa a la casilla de inicio. Con cada salto, se calcula la distancia desde el centro de la casilla donde se encuentra la rana hasta el centro del tablero. Un salto de la rana se considera elegante si la distancia al centro, después del salto, disminuye. Calcule, con justificación, el mayor número posible de saltos elegantes realizados por la rana.

24 Dado un entero positivo $k$, sea $r_2(k)$ la menor potencia de $2$ que no divide a $k$. Por ejemplo, $r_2(12) = 8$ y $r_2(1) = 2$. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que la desigualdad \[ n\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} r_2(j-i)x_ix_j \geq 2025 \] se cumple para todos los números reales $x_1, x_2, \dots, x_n$ que satisfacen $x_1+x_2+\dots+x_n = 1$. Propuesto por MV Adhitya Rijul

18 Suponga que el grimorio de Alice tiene el número $1$ escrito en la primera página y $n$ páginas vacías. Suponga que en cada uno de los siguientes $n$ segundos, Alice puede pasar a la página siguiente y escribir la suma o el producto de dos números (posiblemente iguales) que ya estén escritos en su grimorio. Sea $F(n)$ el número más grande posible tal que para todo $k < F(n)$, Alice pueda escribir el número $k$ en la última página de su grimorio. Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo $n>N$, tenemos que \[n^{0.99n}\leqslant F(n)\leqslant n^{1.01n}.\] Propuesto por Rohan Goyal y Pranjal Srivastava Rijul

14 Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo entero positivo $n>N$, se pueden colocar $n$ puntos en el plano de manera que: • No haya tres puntos colineales. • Haya a lo sumo $0.01 n^3$ formas de elegir tres de los $n$ puntos tales que el triángulo formado por ellos contenga a lo sumo $n^{0.99}$ puntos. Propuesto por Bhavya Tiwari y Shantanu Nene Rijul

5 Sean $a_1,a_2,...,a_k$ enteros positivos, y sea $P$ su producto. Considere la ecuación $$n= \left \lceil \frac{n}{a_1} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{a_2} \right\rceil + \cdots + \left\lceil \frac{n}{a_k} \right\rceil.$$ Suponga que la ecuación tiene estrictamente más de $\frac{P}{2}$ soluciones en enteros positivos $n$. Demuestre que tiene al menos $P$ soluciones en enteros no negativos $n$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

16 En una entrevista de trabajo, a los candidatos se les hacen preguntas en una secuencia. La puntuación inicial es $0$. La puntuación del candidato se calcula de la siguiente manera: $\bullet$ después de una respuesta correcta, la puntuación aumenta en $1$; $\bullet$ después de una respuesta incorrecta, la puntuación se divide por $2$. Si al candidato se le hacen $n$ preguntas y responde a todas ellas, ¿cuántas puntuaciones diferentes son posibles? Nota: Dos secuencias de respuestas diferentes de la misma longitud pueden resultar en la misma puntuación: las secuencias $RRW$ y $WWR$ de la misma longitud, donde $R$ denota la respuesta correcta y $W$ denota la respuesta incorrecta, ambas resultan en la misma puntuación de 1. Propuesto por S. Muralidharan Rijul

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $T$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a $\Gamma$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $TBC$ y sean $M(\neq T)$ y $N(\neq T)$ las segundas intersecciones de $TA$ y $TD$ con $\omega$, respectivamente. Sean $AD$ y $BC$ rectas que se cortan en $E$ y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $EMN$. Si $AD$ corta a $\Omega$ nuevamente en $X \neq E$, demuestre que la recta tangente a $\Omega$ en $X$ es también tangente a $\omega$. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara Rijul

9 Sea $p$ un número primo. Demuestre que no existe ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse de la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.