24 Dado un entero positivo $k$, sea $r_2(k)$ la menor potencia de $2$ que no divide a $k$. Por ejemplo, $r_2(12) = 8$ y $r_2(1) = 2$. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que la desigualdad \[ n\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} r_2(j-i)x_ix_j \geq 2025 \] se cumple para todos los números reales $x_1, x_2, \dots, x_n$ que satisfacen $x_1+x_2+\dots+x_n = 1$. Propuesto por MV Adhitya Rijul

18 Suponga que el grimorio de Alice tiene el número $1$ escrito en la primera página y $n$ páginas vacías. Suponga que en cada uno de los siguientes $n$ segundos, Alice puede pasar a la página siguiente y escribir la suma o el producto de dos números (posiblemente iguales) que ya estén escritos en su grimorio. Sea $F(n)$ el número más grande posible tal que para todo $k < F(n)$, Alice pueda escribir el número $k$ en la última página de su grimorio. Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo $n>N$, tenemos que \[n^{0.99n}\leqslant F(n)\leqslant n^{1.01n}.\] Propuesto por Rohan Goyal y Pranjal Srivastava Rijul

10 Sea $k>2$ un entero. Llamamos a un par de enteros $(a,b)$ $k-$bueno si \[0\leqslant a<k,\hspace{0.2cm} 0<b \hspace{1cm} \text{y} \hspace{1cm} (a+b)^2=ka+b\] Demuestre que el número de pares $k-$buenos es una potencia de $2$. Propuesto por Prithwijit De y Rohan Goyal Rijul

16 En una entrevista de trabajo, a los candidatos se les hacen preguntas en una secuencia. La puntuación inicial es $0$. La puntuación del candidato se calcula de la siguiente manera: $\bullet$ después de una respuesta correcta, la puntuación aumenta en $1$; $\bullet$ después de una respuesta incorrecta, la puntuación se divide por $2$. Si al candidato se le hacen $n$ preguntas y responde a todas ellas, ¿cuántas puntuaciones diferentes son posibles? Nota: Dos secuencias de respuestas diferentes de la misma longitud pueden resultar en la misma puntuación: las secuencias $RRW$ y $WWR$ de la misma longitud, donde $R$ denota la respuesta correcta y $W$ denota la respuesta incorrecta, ambas resultan en la misma puntuación de 1. Propuesto por S. Muralidharan Rijul

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $T$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a $\Gamma$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $TBC$ y sean $M(\neq T)$ y $N(\neq T)$ las segundas intersecciones de $TA$ y $TD$ con $\omega$, respectivamente. Sean $AD$ y $BC$ rectas que se cortan en $E$ y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $EMN$. Si $AD$ corta a $\Omega$ nuevamente en $X \neq E$, demuestre que la recta tangente a $\Omega$ en $X$ es también tangente a $\omega$. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara Rijul

3 Sean $x, y, z$ enteros positivos tales que $xy=z^2+2$. Demuestre que existen enteros $a, b, c, d$ tales que se satisfacen las siguientes igualdades: \begin{eqnarray*} x=a^2+2b^2\\ y=c^2+d^2\\ z=ac+2bd\\ \end{eqnarray*} Propuesto por Isaac Jiménez

20 Tras haber ganado las elecciones en Linetown, Turbo el Caracol se ha convertido en alcalde, y uno de los problemas más urgentes en los que necesita trabajar es la red de carreteras. Linetown puede representarse como una configuración de $2025$ líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Hay una casa en Linetown por cada intersección de dos líneas. Las $2025$ líneas son utilizadas como carreteras por los habitantes del pueblo. En el pasado, las carreteras en Linetown solían ser de doble sentido, pero esto a menudo llevaba a que los residentes regresaran accidentalmente en bicicleta al lugar donde comenzaron. Turbo quiere hacer que cada una de las $2025$ carreteras sea de sentido único, de tal manera que sea imposible para cualquier residente comenzar en una casa, seguir las carreteras en las direcciones correctas y terminar de vuelta en la casa original. ¿De cuántas maneras puede Turbo lograr esto? Propuesto por Archit Manas Rijul

9 Sea $p$ un número primo. Demuestre que no existe ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse de la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

4 Considere un tablero de $2025\times 2025$ donde identificamos las casillas con pares $(i,j)$ donde $i$ y $j$ denotan el número de fila y columna de dicha casilla, respectivamente. Calvin elige dos enteros positivos $a,b<2025$ y coloca un peón en la esquina inferior izquierda (es decir, en $(1,1)$) y realiza los siguientes movimientos. En su $k$-ésimo movimiento, mueve el peón de $(i,j)$ a $(i+a,j)$ o $(i,j+a)$ si $k$ es impar, y a $(i+b,j)$ o $(i,j+b)$ si $k$ es par. Aquí todos los números se toman módulo $2025$. Encuentre el número de pares $(a,b)$ que Calvin pudo haber elegido de tal manera que pueda realizar movimientos para que el peón cubra todas las casillas del tablero sin estar en ninguna casilla dos veces. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu Rijul

22 Bugs Bunny desea elegir un número $k$ tal que toda colección de $k$ enteros positivos consecutivos contenga un entero cuya suma de dígitos sea divisible por $2025$. Encuentre el entero positivo $k$ más pequeño para el cual puede hacer esto, o demuestre que no existe ninguno. Propuesto por Saikat Debnath y MV Adhitya Rijul