23 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incírculo $\omega$. Denotemos por $N$ al punto medio del arco $BAC$ en el circuncírculo de $ABC$, y por $D$ al punto donde el $A$-excírculo toca a $BC$. Suponga que el circuncírculo de $AND$ corta a $BC$ nuevamente en $P \neq D$ e interseca a $\omega$ en dos puntos $X$, $Y$. Demuestre que $PX$ o $PY$ es tangente a $\omega$. Propuesto por Sanjana Philo Chacko Rijul

21 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $K$ la intersección de las tangentes desde $B$ y $C$ al circuncírculo de $ABC$. Denotemos por $\Omega$ al círculo centrado en $H$ y tangente a la recta $AM$. Suponga que $AK$ interseca a $\Omega$ en dos puntos distintos $X$, $Y$. Las rectas $BX$ y $CY$ se encuentran en $P$, mientras que las rectas $BY$ y $CX$ se encuentran en $Q$. Demuestre que $P$ o $Q$ yace sobre $\Omega$. Propuesto por MV Adhitya, Archit Manas y Arnav Nanal Rijul

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo con centro en $O$. Sea $M$ un punto en el arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita al triángulo. La perpendicular trazada desde $M$ al rayo $OA$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. De manera similar, la perpendicular trazada desde $M$ al rayo $OB$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en $N$ y $P$, respectivamente. Suponga que $KL=MN$. Encuentre la medida del ángulo $\angle{MLP}$ en términos de los ángulos del triángulo $ABC$.

2 Resuelva la ecuación $(x^3-1000)^{1/2}=(x^2+100)^{1/3}$

6 En un tablero de 8 × 8, una rana salta de casilla en casilla (siempre desde la casilla en la que se encuentra a una casilla que comparte un lado con ella). Partiendo de una casilla de esquina del tablero, la rana realiza 64 saltos, de modo que visita todas las casillas del tablero y finalmente regresa a la casilla de inicio. Con cada salto, se calcula la distancia desde el centro de la casilla donde se encuentra la rana hasta el centro del tablero. Un salto de la rana se considera elegante si la distancia al centro, después del salto, disminuye. Calcule, con justificación, el mayor número posible de saltos elegantes realizados por la rana.

6 En el instante $t=0$, Hobbes escribe números reales positivos en los vértices de un polígono regular $P_1P_2\dots P_n$. Suponga que después de un número par de segundos, los números $x$ e $y$ están escritos en $P_i$ y $P_{i+1}$ respectivamente. Entonces, un segundo después, Hobbes actualiza el número en $P_i$ a $x+\frac{1}{y}$. Aquí $i$ se toma módulo $n$. ¿Para qué pares $(i,j)$ (en términos de $n$) podemos garantizar (sin saber qué escribió Hobbes) que en algún momento el número en $P_i$ es al menos tan grande como el número en $P_j$? Nota. Todos los números se actualizan solo cuando ha pasado un número impar de segundos. Si todos los números fueran inicialmente $1$, entonces después de $1$ segundo todos se actualizarían a $2$, luego en $T=3s$, todos se actualizarían a $2.5$ y así sucesivamente. Propuesto por Pranjal Srivastava Rijul

1 Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La mediatriz de $AB$ corta a $BC$ en el punto $X$, y la mediatriz de $AC$ corta a $BC$ en el punto $Y$. Demuestre que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC= XY$ (o en otras palabras: demuestre que una condición suficiente para que $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$). Demuestre que esta condición no es necesaria, y proporcione una condición necesaria y suficiente para que $BC = XY$.

6 Un círculo está dividido en $n$ sectores ($n \geq 3$). Cada sector puede ser llenado con $1$ o $0$. Elija cualquier sector $\mathcal{C}$ ocupado por un $0$, cámbielo por un $1$ y simultáneamente cambie los símbolos $x, y$ en los dos sectores adyacentes a $\mathcal{C}$ por sus complementos $1-x$, $1-y$. Repetimos este proceso mientras exista un cero en algún sector. En la configuración inicial hay un $0$ en un sector y $1$s en los demás. ¿Para qué valores de $n$ podemos terminar este proceso?

7 La función $f$ está definida sobre el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determine $f$.

2 Demuestre que existen infinitos triángulos no congruentes que satisfacen las siguientes condiciones: i) las longitudes de sus lados son enteros primos entre sí; ii) el área es un número entero; iii) las longitudes de las alturas no son números enteros.