16 Demuestre que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$. (El valor de $k$ no está fijo, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ subconjuntos no vacíos posibles).

7 Se consideran todas las sucesiones posibles de números $-1$ y $+1$ de longitud $100$. Para cada una de ellas, se calcula el cuadrado de la suma de sus términos. Encuentre el promedio aritmético de los valores resultantes.

22 Bugs Bunny desea elegir un número $k$ tal que toda colección de $k$ enteros positivos consecutivos contenga un entero cuya suma de dígitos sea divisible por $2025$. Encuentre el entero positivo $k$ más pequeño para el cual puede hacer esto, o demuestre que no existe ninguno. Propuesto por Saikat Debnath y MV Adhitya Rijul

10 Sea $k>2$ un entero. Llamamos a un par de enteros $(a,b)$ $k-$bueno si \[0\leqslant a<k,\hspace{0.2cm} 0<b \hspace{1cm} \text{y} \hspace{1cm} (a+b)^2=ka+b\] Demuestre que el número de pares $k-$buenos es una potencia de $2$. Propuesto por Prithwijit De y Rohan Goyal Rijul

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $T$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a $\Gamma$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $TBC$ y sean $M(\neq T)$ y $N(\neq T)$ las segundas intersecciones de $TA$ y $TD$ con $\omega$, respectivamente. Sean $AD$ y $BC$ rectas que se cortan en $E$ y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $EMN$. Si $AD$ corta a $\Omega$ nuevamente en $X \neq E$, demuestre que la recta tangente a $\Omega$ en $X$ es también tangente a $\omega$. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara Rijul

20 Tras haber ganado las elecciones en Linetown, Turbo el Caracol se ha convertido en alcalde, y uno de los problemas más urgentes en los que necesita trabajar es la red de carreteras. Linetown puede representarse como una configuración de $2025$ líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Hay una casa en Linetown por cada intersección de dos líneas. Las $2025$ líneas son utilizadas como carreteras por los habitantes del pueblo. En el pasado, las carreteras en Linetown solían ser de doble sentido, pero esto a menudo llevaba a que los residentes regresaran accidentalmente en bicicleta al lugar donde comenzaron. Turbo quiere hacer que cada una de las $2025$ carreteras sea de sentido único, de tal manera que sea imposible para cualquier residente comenzar en una casa, seguir las carreteras en las direcciones correctas y terminar de vuelta en la casa original. ¿De cuántas maneras puede Turbo lograr esto? Propuesto por Archit Manas Rijul

5 Un triángulo rectángulo está inscrito en la parábola $y=x^2$. Demuestre que su hipotenusa no es menor que $2$.

3 Sean $x, y, z$ enteros positivos tales que $xy=z^2+2$. Demuestre que existen enteros $a, b, c, d$ tales que se satisfacen las siguientes igualdades: \begin{eqnarray*} x=a^2+2b^2\\ y=c^2+d^2\\ z=ac+2bd\\ \end{eqnarray*} Propuesto por Isaac Jiménez

9 Sea $p$ un número primo. Demuestre que no existe ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse de la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

6 Una empresa tiene $2n+1$ empleados, algunos de los cuales se conocen entre sí ($A$ conoce a $B$, y $B$ conoce a $A$). Si, para cualesquiera $n$ empleados, siempre existe un empleado entre los empleados restantes que conoce a todos ellos, entonces demuestre que existe un empleado en la empresa que conoce a todos los demás.