14 Sea $\{x_n\}$ una sucesión de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\] Demuestre que, para todo número natural $k$, existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

16 Demuestre que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$. (El valor de $k$ no está fijo, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ subconjuntos no vacíos posibles).

2 Encuentre todos los enteros positivos $n$ y $p$ tales que $p$ es primo y $p^{3} + (np)^{2} + 1 = n^{6}$

6 En el instante $t=0$, Hobbes escribe números reales positivos en los vértices de un polígono regular $P_1P_2\dots P_n$. Suponga que después de un número par de segundos, los números $x$ e $y$ están escritos en $P_i$ y $P_{i+1}$ respectivamente. Entonces, un segundo después, Hobbes actualiza el número en $P_i$ a $x+\frac{1}{y}$. Aquí $i$ se toma módulo $n$. ¿Para qué pares $(i,j)$ (en términos de $n$) podemos garantizar (sin saber qué escribió Hobbes) que en algún momento el número en $P_i$ es al menos tan grande como el número en $P_j$? Nota. Todos los números se actualizan solo cuando ha pasado un número impar de segundos. Si todos los números fueran inicialmente $1$, entonces después de $1$ segundo todos se actualizarían a $2$, luego en $T=3s$, todos se actualizarían a $2.5$ y así sucesivamente. Propuesto por Pranjal Srivastava Rijul

2 Se celebra un torneo de ajedrez con la participación de niños y niñas. El número de niñas es el doble que el de niños. Cada jugador juega contra cada uno de los otros jugadores exactamente una vez. Al finalizar el torneo, no hubo empates y la razón entre las victorias de las niñas y las victorias de los niños fue $\frac{7}{9}$. ¿Cuántos jugadores participaron en el torneo?

1 Dados los números reales $x$, $y$ y $z$, demuestre que $4x(y+z)(xy+xz+yz)+y^{2}z^{2} \ge 0$

3 Para cualquier entero positivo $x$, definimos $$ g(x) = \text{ el mayor divisor impar de } x, $$ $$ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{x}{g(x)} & \text{ si } x \text{ es par;} \\ 2^{\frac{x+1}{2}} & \text{ si } x \text{ es impar.} \end{cases} $$ Considere la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $x_1 = 1$, $x_{n + 1} = f(x_n)$. Demuestre que el entero $2018$ aparece en esta sucesión, determine el menor entero $n$ tal que $x_n = 2018$, y determine si $n$ es único o no.

7 La función $f$ está definida sobre el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determine $f$.

8 Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$. En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB]$, $[BC]$ y $[AC]$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos corta al tercer círculo en $E$. Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$. Evalúe la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ en función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$.

22 Bugs Bunny desea elegir un número $k$ tal que toda colección de $k$ enteros positivos consecutivos contenga un entero cuya suma de dígitos sea divisible por $2025$. Encuentre el entero positivo $k$ más pequeño para el cual puede hacer esto, o demuestre que no existe ninguno. Propuesto por Saikat Debnath y MV Adhitya Rijul