3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, con Alice comenzando primero. Inicialmente, la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no se haya escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Bob, Bob gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Alice; de lo contrario, nadie gana. Determine si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora y, de ser así, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Théo Lenoir, Francia

3 En cada casilla de un tablero de $5\times 5$ está escrito $1$ o $-1$. En cada paso, el número de cada una de las $25$ celdas es reemplazado por el resultado de la multiplicación de los números de todas sus celdas vecinas. Inicialmente tenemos el tablero de la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/d/29b8e5df29526630102ac400a3a2b2f8fee4f7.gif Demuestre cómo luce el tablero después de $2004$ pasos. Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.

2 Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $PQ$. Un círculo $k$ es tangente internamente a $\omega$ y al segmento $PQ$ en $C$. Sea $AB$ la tangente a $k$ perpendicular a $PQ$, con $A$ en $\omega$ y $B$ en el segmento $CQ$. Demuestre que $AC$ biseca el ángulo $\angle PAB$.

3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz externa del ángulo $A$ con las alturas de $ABC$ que pasan por $B$ y $C$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos en los segmentos $EC$ y $FB$ respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestre que los puntos $E, F, N, M$ yacen sobre un círculo.

5 Hay $90$ tarjetas y en cada una hay escritos dos dígitos diferentes: $01$ , $02$ , $03$ , $04$ , $05$ , $06$ , $07$ , $08$ , $09$ , $10$ , $12$ , y así sucesivamente hasta $98$ . Un conjunto de tarjetas es correcto si no contiene ninguna tarjeta cuyo primer dígito sea el mismo que el segundo dígito de otra tarjeta en el conjunto. Llamamos valor de un conjunto de tarjetas a la suma de los números escritos en cada tarjeta. Por ejemplo, las cuatro tarjetas $04$ , $35$ , $78$ y $98$ forman un conjunto correcto y su valor es $215$ , ya que $04+35+78+98=215$ . Encuentre un conjunto correcto que tenga el mayor valor posible. Explique por qué es imposible lograr un conjunto correcto de mayor valor.

6 ¿Existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos? La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera (o suelo) del número real $x$. Por lo tanto, $\lfloor\sqrt{2}\rfloor = 1, \lfloor\pi\rfloor =\lfloor 22/7 \rfloor = 3, \lfloor 42\rfloor = 42,$ y $\lfloor 0 \rfloor = 0$.

2024.8.4 En el triángulo $ABC$, $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita y $H$ es su ortocentro (el punto de intersección de las alturas). $D$ es un punto en $BC$ tal que $BD=BH$, y $E$ es un punto en $AB$ tal que $BE=BO$. Encuentre la longitud de $DE$ si $BO=1$.

5 Para cualquier entero positivo $n$, sea $f(n)=\tau(n)+\sigma(n)$, donde $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ denotan el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$, respectivamente. (a) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \not\equiv f(n+1) \pmod 4$. (b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \equiv f(n+1) \pmod 4$.

2025.8.3 Los círculos $\Gamma$ y $\Omega$ son tangentes internamente entre sí en el punto $A$. El círculo $\Omega$ se encuentra dentro del círculo $\Gamma$. Se elige un punto $P$ diferente del punto $A$ en el círculo $\Gamma$. Las cuerdas $P R$ y $P Q$ del círculo $\Gamma$ son tangentes al círculo $\Omega$ en los puntos $B$ y $C$, respectivamente. La recta $A P$ corta al círculo $\Omega$ en el punto $X$ $(X \neq A)$. Las rectas $A C$ y $B X$ se cortan en el punto $Y$ (el punto $C$ se encuentra entre los puntos $A$ y $Y$, el punto $X$ se encuentra entre los puntos $B$ y $Y$). Resulta que el punto $Y$ se encuentra en el círculo $\Gamma$. Demuestre que $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$.

4 Para un número real $\lambda$ considere la afirmación $P(\lambda)$: Existe un entero positivo $n$ y $3n$ números reales distintos dos a dos $a_1, a_2, \cdots a_n \; ; \; b_1, b_2, \cdots, b_n \; ; \; c_1, c_2, \cdots c_n$ tales que: \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, a_i>b_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, b_i>c_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, c_i>a_j \}| \ge \lambda n^2 \] Demuestre que si $\lambda < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ entonces $P(\lambda)$ es verdadera y, en caso contrario, es falsa.