2 Sea $ABC$ un triángulo, el punto $E$ está en el segmento $AC$, el punto $F$ está en el segmento $AB$ y $P=BE\cap CF$. Sea $D$ un punto tal que $AEDF$ es un paralelogramo. Demuestre que $D$ está en el lado $BC$ si y solo si el triángulo $BPC$ y el cuadrilátero $AEPF$ tienen la misma área.

2 Encuentre el mayor entero $d$ que divide a los tres números $abc, bca$ y $cab$, donde $a, b$ y $c$ son dígitos distintos de cero y mutuamente diferentes. República Checa

4 Considere un poliedro convexo cuyas caras son triángulos. Demuestre que es posible colorear sus aristas de rojo o azul, de tal manera que se satisfaga la siguiente propiedad: se puede viajar desde cualquier vértice hasta cualquier otro vértice pasando solo por aristas rojas, y también se puede hacer esto pasando solo por aristas azules.

3 Sea $a_0,a_1,a_2,\dots$ una sucesión periódica de números reales (es decir, existe un entero positivo fijo $k$ tal que $a_n=a_{n+k}$ para todo entero $n\geq 0$). La siguiente igualdad es verdadera para todo $n\geq 0$: $a_{n+2}=\frac{1}{n+2} (a_n - \frac{n+1}{a_{n+1}})$. Si $a_0=2020$, determine el valor de $a_1$.

4 Los círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$ y se intersecan en $P$ y $Q$. Una recta que pasa por $P$ interseca a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en $A$ y $B$, respectivamente, de tal manera que $AB$ no es perpendicular a $PQ$. Sea $X$ el punto sobre $PQ$ tal que $XA=XB$ y sea $Y$ el punto dentro de $AO_1 O_2 B$ tal que $AYO_1$ y $BYO_2$ son semejantes. Demuestre que $2\angle{O_1 AY}=\angle{AXB}$. Autor: Matthew Brennan

1 En el triángulo $ABC$, $\angle{BAC}=60^\circ$ y el incírculo de $ABC$ toca a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las rectas $PC$ y $QB$ se cortan en $G$. Sea $R$ el circunradio de $BGC$. Encuentre el valor mínimo de $R/BC$. Autor: Alex Song

2 Seis miembros del equipo de Fatalia para la Olimpiada Internacional de Matemáticas son seleccionados de entre $13$ candidatos. En la TST, los candidatos obtuvieron $a_1, a_2, \ldots, a_{13}$ puntos, con $a_i \neq a_j$ si $i \neq j$. El líder del equipo ya tiene a $6$ candidatos y ahora desea verlos a ellos y a nadie más en el equipo. Con ese fin, construye un polinomio $P(x)$ y encuentra el potencial creativo de cada candidato mediante la fórmula $c_i = P(a_i)$. ¿Para qué $n$ mínimo puede él encontrar siempre un polinomio $P(x)$ de grado no superior a $n$ tal que el potencial creativo de los $6$ candidatos sea estrictamente mayor que el de los otros $7$? Propuesto por F. Petrov, K. Sukhov

1 En el plano, sea $\,C\,$ un círculo, $\,L\,$ una recta tangente al círculo $\,C\,$ y $\,M\,$ un punto en $\,L$. Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos $\,P\,$ con la siguiente propiedad: existen dos puntos $\,Q,R\,$ en $\,L\,$ tales que $\,M\,$ es el punto medio de $\,QR\,$ y $\,C\,$ es el círculo inscrito del triángulo $\,PQR$.

3 Sea $f(x):\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q}$ una función que satisface $f(x+2y)+f(2x-y)=5f(x)+5f(y)$. Encuentre todas las funciones tales.

4 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. Sea la recta que pasa por $D$ perpendicular a $BI$ que interseca a $CI$ en $E$. Sea la recta que pasa por $D$ perpendicular a $CI$ que interseca a $BI$ en $F$. Demuestre que la reflexión de $A$ respecto a la recta $EF$ se encuentra sobre la recta $BC$.