3 Los organizadores de un congreso matemático descubrieron que si alojan a cualquier participante en una habitación, el resto puede ser alojado en habitaciones dobles de tal manera que las 2 personas que viven en cada habitación se conocen entre sí. Demuestre que cada participante puede organizar una mesa redonda sobre teoría de grafos para sí mismo y un número par de otras personas, de modo que cada participante de la mesa redonda conozca a sus dos vecinos. Propuesto por S. Berlov, S. Ivanov

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y $AB>BC$. Sea $E$ un punto en $AC$ tal que $AE<EC$. Sea $l$ la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AC$, que interseca a los circuncírculos de $\triangle AED$, $\triangle BED$ y $\triangle CED$ en $X$, $Y$ y $Z$ respectivamente, de tal manera que $E, Y, Z, X$ se encuentran sobre $l$ en ese orden. Si $AX=BY=CZ$, demuestre que $BD$ y $OY$ se intersecan en el incentro de $\triangle ABC$.

6 Sea $n \ge 2$ un entero positivo, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos. Demuestre que \[ \frac{1}{3} \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 \ge \sum_{1 \le i<j \le n} \frac{x_i x_j}{2^{\nu_2(j-i)}}. \] Nota: Para un entero positivo $k$, $\nu_2(k)$ denota el mayor entero $\alpha$ tal que $2^\alpha \mid k$.

4 Para un número real $\lambda$ considere la afirmación $P(\lambda)$: Existe un entero positivo $n$ y $3n$ números reales distintos dos a dos $a_1, a_2, \cdots a_n \; ; \; b_1, b_2, \cdots, b_n \; ; \; c_1, c_2, \cdots c_n$ tales que: \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, a_i>b_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, b_i>c_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, c_i>a_j \}| \ge \lambda n^2 \] Demuestre que si $\lambda < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ entonces $P(\lambda)$ es verdadera y, en caso contrario, es falsa.

2025.8.3 Los círculos $\Gamma$ y $\Omega$ son tangentes internamente entre sí en el punto $A$. El círculo $\Omega$ se encuentra dentro del círculo $\Gamma$. Se elige un punto $P$ diferente del punto $A$ en el círculo $\Gamma$. Las cuerdas $P R$ y $P Q$ del círculo $\Gamma$ son tangentes al círculo $\Omega$ en los puntos $B$ y $C$, respectivamente. La recta $A P$ corta al círculo $\Omega$ en el punto $X$ $(X \neq A)$. Las rectas $A C$ y $B X$ se cortan en el punto $Y$ (el punto $C$ se encuentra entre los puntos $A$ y $Y$, el punto $X$ se encuentra entre los puntos $B$ y $Y$). Resulta que el punto $Y$ se encuentra en el círculo $\Gamma$. Demuestre que $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$.

5 Para cualquier entero positivo $n$, sea $f(n)=\tau(n)+\sigma(n)$, donde $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ denotan el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$, respectivamente. (a) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \not\equiv f(n+1) \pmod 4$. (b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \equiv f(n+1) \pmod 4$.

2024.8.4 En el triángulo $ABC$, $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita y $H$ es su ortocentro (el punto de intersección de las alturas). $D$ es un punto en $BC$ tal que $BD=BH$, y $E$ es un punto en $AB$ tal que $BE=BO$. Encuentre la longitud de $DE$ si $BO=1$.

5 Hay $90$ tarjetas y en cada una hay escritos dos dígitos diferentes: $01$ , $02$ , $03$ , $04$ , $05$ , $06$ , $07$ , $08$ , $09$ , $10$ , $12$ , y así sucesivamente hasta $98$ . Un conjunto de tarjetas es correcto si no contiene ninguna tarjeta cuyo primer dígito sea el mismo que el segundo dígito de otra tarjeta en el conjunto. Llamamos valor de un conjunto de tarjetas a la suma de los números escritos en cada tarjeta. Por ejemplo, las cuatro tarjetas $04$ , $35$ , $78$ y $98$ forman un conjunto correcto y su valor es $215$ , ya que $04+35+78+98=215$ . Encuentre un conjunto correcto que tenga el mayor valor posible. Explique por qué es imposible lograr un conjunto correcto de mayor valor.

3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz externa del ángulo $A$ con las alturas de $ABC$ que pasan por $B$ y $C$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos en los segmentos $EC$ y $FB$ respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestre que los puntos $E, F, N, M$ yacen sobre un círculo.

2 Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $PQ$. Un círculo $k$ es tangente internamente a $\omega$ y al segmento $PQ$ en $C$. Sea $AB$ la tangente a $k$ perpendicular a $PQ$, con $A$ en $\omega$ y $B$ en el segmento $CQ$. Demuestre que $AC$ biseca el ángulo $\angle PAB$.