Sea $n$ un entero positivo. En un jardin de $n\times n$ cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste, se va a construir una fuente usando plataformas de $1\times 1$ que cubran todo el jardín. Ana colocará las plataformas todas a diferente altura. Después, Beto pondrá salidas de agua en algunas de las plataformas. El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas. ¿Cuál es el menor número de salidas de agua que Beto necesita tener disponibles a fin de garantizar que podrá lograr su objetivo, sin importar cómo Ana haya acomodado las plataformas?

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $CA\neq CB$ y sean $\omega$ y $O$ su circuncirculo y circuncentro respectivamente. Las tangentes a $\omega$ por $A$ y por $B$ son $t_A$ y $t_B$ respectivamente, estas se cortan en $X$. Sea $Y$ el pie de la perpendicular de $O$ a $CX$. La linea paralela a $AB$ por $C$ corta a $t_A$ en $Z$. emuestra que la linea $YZ$ pasa por el punto medio de $AC$.

Sean $a,b$ y $n$ enteros positivos con $a>b$ tales que: i. $a^{2021}\mid n$, ii. $b^{2021}\mid n$, iii. $2022 \mid a-b$. Demuestra que hay un subconjunto $T$ de los divisores positivos de $n$ tales que la suma de los numeros en $T$ es divisible entre $2022$ pero no entre $2022^2$.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$, tales que existe un polígono convexo de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n$ que tenga las siguientes características: -Todos los ángulos internos de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales. -no todos los lados de $A_1A_2\cdots A_n$ son iguales, y -existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2\cdots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2, OA_2A_3, \cdots, OA_nA_1$ son todos semejantes a $T$.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tales que $$f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$$ para todos los reales positivos $x,y$.

Sea $a_1=2$ y para cada entero positivo $n$ se define a $a_{n+1}$ como el menor entero positivo mayor a $a_n$ tal que ademas tiene mas divisores que $a_n$. Demuestra que solo puede suceder $2a_{n+1}=3a_n$ para un numero finito de valores de $n$.

Sean $a,b,c$ numeros reales tales que $0\leq a\leq b\leq c$ y $a+b+c=ab+bc+ca>0$. Demuestra que $\sqrt{bc}(a+1)\geq 2$ y determina cuando se da la igualdad.

Encuentra todas las funciones $f:(0,\infty)\to (0,\infty)$ tales que $$f(y(f(x))^3+x)=x^3f(y)+f(x)$$ para todo $x,y>0$.

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos que satisfacen $$mcd(a,b)+mcm(a,b)=2021^c.$$ Si $|a-b|$ es un numero primo, demuestra que $(a+b)^2+4$ es un numero compuesto.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB=AC$, sea $D$ el punto medio de $AC$ y $\gamma$ el circuncirculo de $ABD$. La tangente a $\gamma$ por $A$ corta a $BC$ en $E$. Sea $O$ el circuncentro del triangulo $ABE$. Demuestra que el punto medio de $AO$ esta en $\gamma$.