Putnam 2011 Problema A2
Sean $a_1,a_2,\ldots$ y $b_1,b_2,\ldots$ secuencias de reales positivos tales que $a_1=b_1=1$ y $b_n=b_{n-1}a_n-2\quad \forall n\geq 2$. Supon que la secuencia $(b_j)$ esta acotada. Demuestra que $$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$$ converge y calcula el valor de $S$.
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Suma de raices de la unidad
En ocasiones es util que cuando una suma solo se da cuando algo es multiplo de $n$ se puede ver como una suma que sucede con raices $n$-esimas de la unidad. Esto pues tenemos que si la raiz $n$-esima es $\omega$ entonces $$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0.$$ Un ejemplo de como esto puede ser util es caluclar la siguiente suma. $$\sum_{k\geq 0} {1000 \choose 3k}.$$ Podemos reescribir esto como $$\frac{1}{3}\sum_{k\geq 0} {1000\choose k}(1+\omega^n+\omega^{2n})$$ donde $\omega$ es la raiz cubica de $1$. Pues $1+\omega^n+\omega^{2n}$ es $3$ si $3|n$ y es $0$ si no. Podemos luego reescribir esta suma de la siguiente forma $$\frac{1}{3}\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}(1+\omega^n+\omega^{2n})=\frac{1}{3}(\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^n+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^{2n})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(1+\omega)^{1000}+(1+\omega^2)^{1000}$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(-\omega^2)^{1000}+(-\omega)^{1000})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+\omega+\omega^2)=\frac{2^{1000}-1}{3}$$
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AMSP 2011 Problema NT3
Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $$\sum_{k\geq 1} \varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=\frac{n(n+1)}{2}$$
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Factorizar una suma
Cuando tienes una suma en dos variables por ejemplo $$\sum_{a=1}^n\sum_{b= 1}^n a^2(b^3-1)$$ la doble suma se puede factorizar en el producto de dos sumas $$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n a^2(b^3-1)=(\sum_{a=1}^n a^2)(\sum_{b=1}^n b^3-1).$$
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Cambiar el orden de una suma
En varias ocasiones una expresion se puede escribir como una doble suma $$\sum_{a\in A}\sum_{b\in B} f$$ y aunque como esta escrito puede ser complicado, varias veces esto se ""arregla"" con cambiar el orden de la suma. Por ejemplo puede ser mas sencillo $$\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}f=\sum_{b\in B}\sum_{a\in A}f$$ incluso puedes hacer un cambio de variable por ejemplo. $$\sum_{a\geq 0}\sum_{b\geq 0}f=\sum_{k\geq 0} \sum_{a+b=k}f.$$
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PAGMO 2023 Problema 6
Sea $n\geq 2$ un entero. Lucia escoge $n$ numeros reales $x_1,x_2,\ldots, x_n$ tales que $|x_i-x_j|\geq 1$ $\forall i\neq j$. Despues, escribe en cada uno de los cuadrados de un tablero de $n\times n$ uno de estos numeros de forma que en cada fila y columna no se repita ningun numero. Despues de esto Lucia calcula por cada cuadrado el valor absoluto de la diferencia entre el numero en ese cuadrado y el que esta en el primer cuadrado de su fila. Determina cual es el menor valor posible de la suma de todas estas $n^2$ diferencias.
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PAGMO 2023 Problema 5
Encuentra todas las parejas de primos $(p,q)$ tales que $$6pq\mid p^3+q^2+38.$$
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PAGMO 2023 Problema 4
Sea $ABC$ un triangulo acutangulo y $D$ un punto en $BC$. Sean $R$ y $S$ los pies de las alturas desde $D$ a $AC$ y $AB$, respectivamente. La linea $DR$ interseca al circuncirculo de $BDS$ en $X(\neq D)$. Similarmente, $DS$ corta al circuncirculo de $CDR$ en $Y(\neq D)$. Demuestra que si $XY\parallel RS$ entonces $D$ es el punto medio de $BC$.
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PAGMO 2023 Problema 3
Sea $ABC$ un triangulo acutangulo y sean $D,E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A,B$ y $C$, respectivamente. La recta $EF$ y el circuncirculo de $ABC$ se intersecan en $P$, con $F$ entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demuestra que si $ED=EP$ entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.
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PAGMO 2023 Problema 2
En cada casilla de una cuadricula de $n\times n$ se escribe $0,1$ o $2$. Determina todos los enteros positivos $n$ para los que existe una forma de llenar la cuadricula de $n\times n$ de manera que al calcular la suma de todas las filas y de las columnas, se obtienen todos los numeros $1,2,\ldots, 2n$.
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