3 Cuatro matemáticos T, D, S y P acuerdan realizar un juego de adivinanzas con las siguientes reglas: T piensa en una terna $(x, y, z)$ de enteros tal que $1 \le x \le y \le z$ y $x + y + z \le 10$. Luego, debe decirle a D el número $d = y - x$, a S el número $s = x + y + z$ y a P el número $p = xyz$, cada uno de tal manera que los otros dos no conozcan el valor del número dicho. Después, D, S y P deben discutir su información. Investigue si existe una terna $(x, y, z)$ con la cual, cuando se juega este juego (después de que $d$, $s$ y $p$ hayan dado su información), pueda tener lugar la siguiente conversación: P: "No puedo determinar unívocamente la terna $(x, y, z)$". S: "Ya lo sabía antes de que lo dijeras". P: "Ahora puedo determinar la terna". D: "Yo también". S: "Yo también ahora". Si existe tal terna, determine si ha sido determinada unívocamente a través de esta conversación. Si es así, ¡indique la terna!

8 Sea $S$ un conjunto con seis elementos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden seleccionar dos subconjuntos de $S$, no necesariamente distintos, tales que la unión de los dos subconjuntos sea $S$? El orden de selección no importa; por ejemplo, el par de subconjuntos $\{a, c\}$, $\{b, c, d, e, f\}$ representa la misma selección que el par $\{b, c, d, e, f\}$, $\{a, c\}$.

3 Sean $Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$ números complejos que satisfacen $|Z_1|+|Z_2|+\cdots +|Z_n|=1$. Demuestre que existen algunos entre los $n$ números complejos tales que el módulo de la suma de estos números complejos no es menor que $1/6$.

5 Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ números reales. Para un proceso técnico sin perturbaciones, sea $$x_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n \,\,\, (1)$$ la medida de una cantidad que depende de $a_1, a_2, ..., a_n$. Para un proceso técnico con perturbaciones, sea la medida de esta cantidad $$x_2 = \frac{a_1}{1 + \varepsilon_1}+ \frac{a_2}{1 + \varepsilon_2}+ ... + \frac{a_n}{1 + \varepsilon_n} \,\,\, (2)$$ Aquí, $\varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_n$ son números reales para los cuales existe un número natural $m \ge 1$ tal que para todo $\mu = 1, 2, ..., n$ se cumple la desigualdad $|\varepsilon_{\mu}| \le 10^{-m}$ (3). Demuestre que a partir de estas condiciones (1), (2), (3) se cumple la desigualdad $$|x_2- x_1| \le \frac{1}{10^m -1}(|a_1| + |a_2| + ... + |a_n|)$$

6 Un balón de fútbol está cubierto por varias piezas poligonales de cuero que están cosidas con hilos de tres colores diferentes. Se caracteriza de la siguiente manera: i) cualquier lado de una pieza poligonal de cuero está cosido con un lado de igual longitud de otra pieza poligonal de cuero mediante un hilo de un color determinado; ii) cada nodo en el balón es vértice de exactamente tres polígonos, y los tres hilos que se unen en el nodo son de colores diferentes. Demuestre que podemos asignar a cada nodo en el balón un número complejo (distinto de $1$), tal que el producto de los números asignados a los vértices de cualquier cara poligonal sea igual a $1$.

2 En el $\triangle ABC$, la longitud de la altura $AD$ es $12$, y la bisectriz $AE$ del $\angle A$ es $13$. Denotamos por $m$ la longitud de la mediana $AF$. Encuentre el rango de $m$ cuando el $\angle A$ es agudo, recto y obtuso, respectivamente.

1 Encuentre todos los pares $(f(x), g(x))$ de polinomios cúbicos $$f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$$ $$g(x) = b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0$$ cuyos coeficientes $a_0, a_1, a_2, a_3, b_0, b_1, b_2, b_3$ son números reales y para los cuales se satisfacen las siguientes condiciones: (1) Cada uno de los valores que $f(x)$ y $g(x)$ toman para $x = 1, 2, 3$ y $4$ es uno de los números $0$ y $1$. (2) Si $f(1) = 0$ o $f(2) = 1$, entonces $g(3) = 0$ y $g(4) = 1$. (3) Si $f(1) = 1$ o $f(4) = 1$, entonces $g(1) = 1$ y $g(3) = 1$. (4) Si $f(2) = 0$ o $f(4) = 0$, entonces $g(2) = 0$ y $g(4) = 0$. (5) Si $f(3) = 1$ o $f(4) = 1$, entonces $g(1) = 0$.

6 Suponga que cada punto en el plano está coloreado de blanco o negro. Demuestre que existe un triángulo equilátero con longitud de lado igual a $1$ o $\sqrt{3}$ cuyos tres vértices son del mismo color.

1 En cualquier triángulo $ABC$, sean $D, E, F$ los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo con sus lados. Demuestre que si $I$ es el área del triángulo $ABC$ e $I_1$ es el área del triángulo $DEF$, entonces $$I_1 \le \frac{I}{4}$$

5 Dado un conjunto finito $X$, sea $f$ una regla tal que $f$ asigna a cada subconjunto $E$ de $X$ con un número par de elementos (es decir, $E \subseteq X$, $|E|$ es par) un número real $f(E)$. Suponga que $f$ satisface las siguientes condiciones: (I) existe un subconjunto $D$ de $X$ con un número par de elementos tal que $f(D)>1990$; (II) para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos $A,B$ de $X$ con un número par de elementos, se cumple la ecuación $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$. Demuestre que existen dos subconjuntos $P,Q$ de $X$ que satisfacen: (1) $P\cap Q=\emptyset$, $P\cup Q=X$; (2) para cualquier subconjunto $S$ de $P$ con un número impar de elementos (es decir, $S\subseteq P$, $|S|$ es impar), tenemos $f(S)>1990$; (3) para cualquier subconjunto $T$ de $Q$ con un número par de elementos, tenemos $f(T)\le 1990$.