4 Sea $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ la sucesión de números reales para la cual se cumple $$a_1 = 1 \,\,\, y \,\,\,a_{n+1} = 2a_n +\sqrt{3a^2_n + 1} \,\,\, (n = 1, 2, 3, ...)$$ Encuentre todos los términos de esta sucesión que son enteros.

2 Sea $M$ el conjunto de todas las áreas cuadradas $Q$ que yacen en un plano dado $\varepsilon$, tienen un punto dado $Z$ en el plano $\varepsilon$ como su centro, y tienen una longitud de segmento dada $a$ como la longitud de su lado. Para áreas cuadradas arbitrarias $Q$, $Q'$ de este conjunto $M$, sea $u(Q\cup Q')$ el perímetro del área poligonal que resulta como la intersección de las áreas cuadradas $Q$ y $Q'$. Investigue si existen áreas cuadradas $Q$, $Q'$ en $M$ con el menor valor posible de $u(Q \cap Q')$. Si este es el caso, determine (en términos de $a$) este menor valor posible de $u(Q \cap Q')$.

5 Dado un conjunto finito $X$, sea $f$ una regla tal que $f$ asigna a cada subconjunto $E$ de $X$ con un número par de elementos (es decir, $E \subseteq X$, $|E|$ es par) un número real $f(E)$. Suponga que $f$ satisface las siguientes condiciones: (I) existe un subconjunto $D$ de $X$ con un número par de elementos tal que $f(D)>1990$; (II) para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos $A,B$ de $X$ con un número par de elementos, se cumple la ecuación $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$. Demuestre que existen dos subconjuntos $P,Q$ de $X$ que satisfacen: (1) $P\cap Q=\emptyset$, $P\cup Q=X$; (2) para cualquier subconjunto $S$ de $P$ con un número impar de elementos (es decir, $S\subseteq P$, $|S|$ es impar), tenemos $f(S)>1990$; (3) para cualquier subconjunto $T$ de $Q$ con un número par de elementos, tenemos $f(T)\le 1990$.

7 Para ciertos $n$ países existe una aerolínea que conecta a cualquier par de países, pero algunas de las aerolíneas están cerradas. Demuestre que si el número de aerolíneas cerradas no excede $n-3$, entonces es posible realizar un viaje de ida y vuelta utilizando las aerolíneas restantes, comenzando desde uno de los países, visitando cada país exactamente una vez y regresando al país de origen.

3 Una función $f(x)$ definida para $x\ge 0$ satisface las siguientes condiciones: i. para $x,y\ge 0$, $f(x)f(y)\le x^2f(y/2)+y^2f(x/2)$; ii. existe una constante $M$ ($M>0$), tal que $|f(x)|\le M$ cuando $0\le x\le 1$. Demuestre que $f(x)\le x^2$.

3 Sea un número real $a \ne 0$ con $|a| \ne 1$. Encuentre todas las soluciones reales $x$ de la ecuación $$\frac{(x^4 + 1)(x^4 + 6x^2 + 1)}{x^2(x^2-1)^2} = \frac{(a^4 + 1)(a^4 + 6a^2 + 1)}{a^2(a^2- 1)^2}$$

2 Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sean $A_1, B_1, C_1$ los puntos medios de los arcos $BC, CA, AB$ respectivamente. Si $I$ es el incentro del triángulo $ABC$, demuestre que $$\overrightarrow{OI}= \overrightarrow{OA_1}+ \overrightarrow{OB_1}+ \overrightarrow{OC_1}.$$

4 (1) Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen $(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)$. Demuestre que $a,b,c$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente. (2) Sean $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $n$ ($n>3$) números reales positivos que satisfacen $(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^2>(n-1)(a_1^4+ a_2^4+\dots +a_n^4)$. Demuestre que cualesquiera tres de $a_1,a_2,\dots ,a_n$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente.

4 Definición: Sea $d(X, Y)$ la distancia entre dos puntos $X, Y$ en un conjunto de $m$ puntos. Un número real $d$ se denomina el diámetro de $m$ si se satisfacen las siguientes condiciones: (1) Para cualesquiera dos puntos $X, Y$ en $m$, $d(X,Y) \le d$. (2) Existen puntos $P, Q$ en $m$ tales que $d(P,Q) = d$. Demuestre: a) Si un área circular con diámetro $d$ se divide en dos partes mediante cualquier polígono que interseca al círculo en un punto $M$ y un punto $N$, entonces una de estas áreas parciales (cada una incluyendo su frontera) también tiene diámetro $d$. b) Si un cuerpo esférico con diámetro $d$ se divide en dos subcuerpos mediante una superficie de corte plana $\varepsilon_1$ y luego uno de estos subcuerpos se divide nuevamente en dos subcuerpos mediante una superficie de corte plana $\varepsilon_2$, entonces en cada una de tales divisiones de un cuerpo esférico en tres subcuerpos, al menos uno de estos subcuerpos (cada uno incluyendo sus superficies fronterizas) también tiene el diámetro $d$.

1 Sean $a, b, x_0$ tres números reales con $a < x_0 < b$; sea $I$ el intervalo de todos los números reales $x$ tales que $a < x < b$. Sea $f$ una función definida en $I$ que es diferenciable en el punto $x_0$. Además, sea $g$ la función definida en $I$ por $g(x) = |f(x)|$. Demuestre que, bajo estas condiciones, $g$ no es diferenciable en el punto $x_0$ si y solo si: $$f(x_0) = 0 \,\,\, \text{y} \,\,\,f'(x_0) \neq 0$$