5 Encuentre todas las funciones $f$ que están definidas para todos los números reales no nulos $x$ y que satisfacen las siguientes condiciones: (1) Para todo $x_1, x_2$ con $x_1 \ne 0$, $x_2 \ne 0$, $x_1 + x_2 \ne 0$, $$f\left(\frac{1}{x_1 + x_2}\right) = f\left(\frac{1}{x_1}\right) + f\left(\frac{1}{x_2}\right).$$ (2) Para todo $x_1$, $x_2$ con $x_1 \ne 0$, $x_2 \ne 0$, $x_1 + x_2 \ne 0$, $$(x_1 + x_2) \cdot f(x_1 + x_2) = x_1x_2 \cdot f(x_1) \cdot f(x_2).$$ (3) $f(1) = 1$.

1997 Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el incentro. Sean $N$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CA$ respectivamente. Las rectas $BI$ y $CI$ cortan a $MN$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demuestre que $AI+BI+CI>BC+KL$. Grecia Iris

4 Dado un triángulo $ABC$, los puntos $D,E,F$ se encuentran sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Además, los radios de los incírculos de $\triangle AEF, \triangle BFD, \triangle CDE$ son iguales a $r$. Denotemos por $r_0$ y $R$ los radios de los incírculos de $\triangle DEF$ y $\triangle ABC$ respectivamente. Demuestre que $r+r_0=R$.

3 Sea $S$ el círculo unitario en el plano complejo (es decir, el conjunto de todos los números complejos con módulo igual a $1$). Definimos la función $f:S\rightarrow S$ de la siguiente manera: $\forall z\in S$, $f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \dots,$ $f^{(k)}(z)=f(f^{(k-1)}(z)) (k>1,k\in \mathbb{N}), \dots$ Llamamos a $c$ un punto de periodo $n$ de $f$ si $c$ ($c\in S$) y $n$ ($n\in\mathbb{N}$) satisfacen: $f^{(1)}(c) \not=c, f^{(2)}(c) \not=c, f^{(3)}(c) \not=c, \dots, f^{(n-1)}(c) \not=c, f^{(n)}(c)=c$. Suponga que $f(z)=z^m$ ($z\in S; m>1, m\in \mathbb{N}$), encuentre el número de puntos de periodo $1989$ de $f$.

3 ¿De cuántas maneras podemos construir un cuadrado de dimensiones $4\times 4$ usando $4$ cuadrados blancos, $4$ verdes, $4$ rojos y $4$ azules de dimensiones $1\times 1$, de tal manera que en cada línea horizontal y en cada línea vertical, los cuadrados tengan colores diferentes?

2 a) Demuestre que un $n$-gono convexo no puede tener más de $3$ ángulos interiores agudos. b) Demuestre que un $n$-gono convexo que tiene $3$ ángulos interiores iguales a $60^\circ$ es equilátero.

1 Sea $n$ un número natural. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la ecuación $z^{n+1}-z^n-1=0$ tenga una raíz compleja cuyo módulo sea igual a $1$ es que $n+2$ sea divisible por $6$.

7 Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo $ABC$, $d_a$, $d_b$ y $d_c$ las distancias desde $P$ a las rectas $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente, $R$ el radio del círculo circunscrito y $r$ el radio del círculo inscrito del $\Delta ABC$. Demuestre que: $$\sqrt{d_a}+\sqrt{d_b}+\sqrt{d_c}\leq\sqrt{2R+5r}.$$

24 Sean $A, B, C$ puntos en el círculo $\mathcal C$. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y $D$ el punto medio del arco $BAC$. Sea $W$ un círculo que es tangente a $AB$ y $AC$, y tangente a $\mathcal C$ en $P$ (donde $W$ está contenido en $\mathcal C$). Demuestre que $P$, $I$ y $D$ son colineales. Omid

15 Suponga una matriz $m\times n$ que está llena solo con 0, 1 y cualesquiera dos filas difieren en al menos $n/2$ elementos, demuestre que $m \leq 2n$. (por ejemplo, la diferencia de estas dos filas es solo en un índice 110 100) Editado por Myth sam-n