6 Sea $n$ ($n\ge 3$) un número natural. Denotemos por $f(n)$ el menor número natural por el cual $n$ no es divisible (por ejemplo, $f(12)=5$). Si $f(n)\ge 3$, podemos obtener $f(f(n))$ de la misma manera. De forma similar, si $f(f(n))\ge 3$, podemos obtener $f(f(f(n)))$, y así sucesivamente. Si $\underbrace{f(f(\dots f}_{k\text{ veces}}(n)\dots ))=2$, llamamos a $k$ la "longitud" de $n$ (también denotamos por $l_n$ la "longitud" de $n$). Para un número natural arbitrario $n$ ($n\ge 3$), encuentre $l_n$ con su demostración.

1 a) Investigue si existen números reales $a\ne 0$, $b$ y $c$ tales que la función $f$ definida para todo $x$ real por $$f(x) = ax^4 + bx^2 + c \,\,\, (1)$$ tenga los valores de función $f(0) = 1$, $f(2) = 1$ y posea un extremo local en $x = 1$. b) Dados dos números reales cualesquiera $x_1$ y $x_2$ con $0 < x_1 < x_2$. Determine (en función de $x_1$ y $x_2$) todos aquellos números reales $a\ne 0, b, c$ con la propiedad de que la función $f$ definida por (1) tenga los valores de función $f(0) = 1$, $f(x_2) = 1$ y posea un extremo local en $x = x_1$.

2 a) Demuestre que existe un conjunto $M$ con las siguientes propiedades (1), (2), (3), (4): (1) Todo elemento de $M$ es un número natural. (2) El elemento más pequeño de $M$ es el número $1$. (3) El elemento más grande de $M$ es el número $100$. (4) Todo elemento de $M$, excepto el número $1$, es la suma de dos elementos cualesquiera de $M$ o el doble de un elemento de $M$. b) Encuentre un conjunto $M$ que satisfaga las condiciones (1), (2), (3), (4) y que tenga la menor cantidad de elementos posible. Demuestre que el conjunto $M$ encontrado satisface estos requisitos.

1 Sea $(x_n)$ la sucesión de números reales para la cual $x_1 = 1$ y se cumple lo siguiente: $$x_{n+1} = \frac{4x_n^2 + 1}{5x_n + 1} \,\,\, (n = 1, 2, 3, ...)$$ Investigue si esta sucesión es convergente y, en caso afirmativo, determine su límite.

2 Encuentre todos los números reales a para los cuales existen números reales no negativos $x_1, x_2, x_3, x_4$ que satisfacen las siguientes ecuaciones (1), (2), (3), (4): $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \,\,\, (1)$$ $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = a \,\,\, (2)$$ $$x_1 + 2^2x_2 + 3^2x_3 + 4^2x_4 = a^2 \,\,\, (3)$$ $$x_1 + 2^3x_2 + 3^3x_3 + 4^3x_4 = a^3 \,\,\, (4)$$

1 Sean $n$ números reales $a_1,a_2,\cdots , a_n$ tales que la suma de cualesquiera dos de ellos es no negativa. Demuestre que la siguiente afirmación y su recíproco son ambos verdaderos: si $n$ números reales no negativos $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ satisfacen $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$, entonces se cumple la desigualdad $a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n\ge a_1x^2_1+ a_2x^2_2+\cdots + a_nx^2_n$.

5 Se debe demostrar: Si las longitudes de las aristas de un tetraedro $ABCD$ no son menores que $\sqrt3$ y no son mayores que $2$, entonces los ángulos interiores entre cualesquiera dos caras del tetraedro $ABCD$ no son mayores que $90^o$.

6B Una novela utópica narra la historia de un autor que vive indefinidamente. Cada día escribe un texto que llena al menos una hoja de papel, y si comienza más hojas ese día, llena cada una de esas hojas también en el mismo día. A lo largo de cada año, llena un cierto número de hojas de esta manera; estos números pueden variar de un año a otro, pero en ningún año este número excede $730$. Demuestre que: En la vida de este autor, para todo entero positivo $n$, existe un período de días consecutivos en el cual el autor llena exactamente $n$ hojas. Nota: Se asume que la regla actualmente vigente se mantiene indefinidamente, según la cual cada período de ocho años siempre contiene al menos un año bisiesto con $366$ días, mientras que cada año no bisiesto consta de $365$ días.

3 Sea un número real $a \ne 0$ con $|a| \ne 1$. Encuentre todas las soluciones reales $x$ de la ecuación $$\frac{(x^4 + 1)(x^4 + 6x^2 + 1)}{x^2(x^2-1)^2} = \frac{(a^4 + 1)(a^4 + 6a^2 + 1)}{a^2(a^2- 1)^2}$$

2 Sea $x$ un número natural. Llamamos $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ un enlace de factores de $x$ si la sucesión $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ satisface las siguientes condiciones: (1) $x_0=1, x_l=x$ ; (2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$. Mientras tanto, definimos $l$ como la longitud del enlace de factores $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$. Denotemos por $L(x)$ y $R(x)$ la longitud y el número de enlaces de factores más largos de $x$, respectivamente. Para $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$, donde $k,m,n$ son números naturales, encuentre el valor de $L(x)$ y $R(x)$.