1 En un plano, se dan un cuadrado $ABCD$ y un punto $P$ situado en su interior. Sea $Q$ un punto que recorre todos los lados del cuadrado. Describa el conjunto de todos aquellos puntos $R$ para los cuales el triángulo $PQR$ es equilátero.

Un grupo de 30 amigos participa en un campamento internacional. Algunos de ellos hablan alemán, otros ruso y otros francés. Algunos amigos hablan solo un idioma, otros dos idiomas y algunos incluso tres idiomas. El número de amigos que hablan exactamente dos idiomas es más del doble, pero menos del triple del número de los que hablan solo un idioma. El número de participantes que hablan los tres idiomas es igual al número de los que hablan solo un idioma. El número de amigos que solo hablan alemán es mayor que el número de los que solo hablan ruso, pero menor que el número de los que solo hablan francés. El número de aquellos que solo hablan alemán es menor que el triple del número de aquellos que solo hablan ruso. Determine el número de todos los miembros de este grupo que solo hablan alemán, solo ruso, solo francés y los tres idiomas.

541 Un investigador calcula que necesita hacer como máximo $91$ preguntas bajo la premisa de que todas las respuestas serán sí o no y todas serán verdaderas. Las preguntas pueden depender de las respuestas anteriores. Demuestre que puede arreglárselas con $105$ preguntas si, como máximo, una respuesta podría ser mentira.

3 Demuestre que no se puede formar un polígono tridimensional $ABCDEA$ a partir de cinco segmentos de recta que posea las siguientes propiedades (1) y (2): (1) Ninguno de los cinco puntos $A, B, C, D, E$ yace en un mismo plano. (2) Visto desde una perspectiva adecuada, se cumple lo siguiente: Ninguno de los cinco puntos $A, B, C, D, E$ se ve exactamente uno detrás del otro (es decir, aparentemente coincidiendo); un punto interior del segmento de recta $CD$ oculta un punto interior de $AE$, un punto interior de $BC$ oculta un punto interior de $DE$, un punto interior de $AE$ oculta un punto interior de $BC$. Nota: Se entiende por punto interior $P$ del segmento de recta $XY$ un punto $P$ del segmento de recta $XY$ que es diferente de $X$ e $Y$, es decir, un punto $P$ en el segmento de recta $XY$ que se encuentra entre estos puntos.

5 Para cada número natural $n \ge 1$, sea $$f(n) = \sum^{n^2}_{k=1}\frac{n -[\sqrt{k - 1}]}{\sqrt{k} + \sqrt{k - 1}} \,\,\,(1)$$ Encuentre una expresión de forma cerrada para $f(n)$ (es decir, una expresión que represente a $f(n)$ como una función de $n$ tal que su formación no requiera un número de operaciones aritméticas que dependa de $n$, como en (1)). Sugerencia: Si $x$ es cualquier número real, entonces $[x]$ denota el entero para el cual $[x] \le x < [x] + 1$.

15 Sea $\overline{CH}$ una altura del $\triangle ABC$. Sean $R$ y $S$ los puntos donde los círculos inscritos en los triángulos $ACH$ y $BCH$ son tangentes a $\overline{CH}$. Si $AB = 1995$, $AC = 1994$ y $BC = 1993$, entonces $RS$ puede expresarse como $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros primos entre sí. Encuentre $m + n$.

4 Dado un entero positivo $a$ y dos números reales $A$ y $B$, encuentre una condición necesaria y suficiente sobre $A$ y $B$ para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga solución entera: \[ \left\{\begin{array}{cc} x^2+y^2+z^2=(Ba)^2\\ x^2(Ax^2+By^2)+y^2(Ay^2+Bz^2)+z^2(Az^2+Bx^2)=\dfrac{1}{4}(2A+B)(Ba)^4\end{array}\right. \]

2 a) Demuestre que un $n$-gono convexo no puede tener más de $3$ ángulos interiores agudos. b) Demuestre que un $n$-gono convexo que tiene $3$ ángulos interiores iguales a $60^\circ$ es equilátero.

4 Demuestre que no existen números naturales $n, m, b$ con $n \ge 2$, $m \ge 2$ tales que $(2n)^{2n}- 1 = b^m$ se cumpla.

2 Encuentre todos los números reales a para los cuales existen números reales no negativos $x_1, x_2, x_3, x_4$ que satisfacen las siguientes ecuaciones (1), (2), (3), (4): $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \,\,\, (1)$$ $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = a \,\,\, (2)$$ $$x_1 + 2^2x_2 + 3^2x_3 + 4^2x_4 = a^2 \,\,\, (3)$$ $$x_1 + 2^3x_2 + 3^3x_3 + 4^3x_4 = a^3 \,\,\, (4)$$