Un grupo de 30 amigos participa en un campamento internacional. Algunos de ellos hablan alemán, otros ruso y otros francés. Algunos amigos hablan solo un idioma, otros dos idiomas y algunos incluso tres idiomas. El número de amigos que hablan exactamente dos idiomas es más del doble, pero menos del triple del número de los que hablan solo un idioma. El número de participantes que hablan los tres idiomas es igual al número de los que hablan solo un idioma. El número de amigos que solo hablan alemán es mayor que el número de los que solo hablan ruso, pero menor que el número de los que solo hablan francés. El número de aquellos que solo hablan alemán es menor que el triple del número de aquellos que solo hablan ruso. Determine el número de todos los miembros de este grupo que solo hablan alemán, solo ruso, solo francés y los tres idiomas.

5 Si $P$ es un punto en el interior de un tetraedro regular $A_1A_2A_3A_4$, sean $x_1, x_2, x_3, x_4$ las distancias de $P$ a las cuatro caras del tetraedro. Sea $h$ la distancia de $A_4$ a la cara del triángulo $A_1A_2A_3$. a) Demuestre que existe exactamente un punto $P^*$ en el interior de $A_1A_2A_3A_4$ para el cual las cuatro distancias $x_1, x_2, x_3, x_4$ tienen el valor $\frac{h}{4}$. b) Demuestre que para todo punto $P$ en el interior del tetraedro, el producto $x_1x_2x_3x_4$ alcanza su valor máximo si y solo si $P$ coincide con el punto $P^*$ mencionado en (a).

5 Determine todos los números reales $\lambda$ para los cuales la ecuación $$sin^4 x - cos^4 x = \lambda (tan^4 x - cot^4 x)$$ tiene a) ninguna, b) exactamente una, c) exactamente dos, d) más de dos soluciones reales en el intervalo $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $.

4 Sea $a_n$ el último dígito del número $n^{(n^n)}$ (sea $n \ne 0$ un número natural). ¡Demuestre que los números $a_n$ forman una sucesión periódica y determine dicho periodo!

6 Sean $\alpha, \beta, \gamma$ los ángulos de un triángulo. Demuestre que $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma \le \frac{3}{2}$ y encuentre los casos de igualdad.

575 Un plano corta a una esfera en un círculo $C$. Los puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la esfera en lados opuestos del plano. La recta que une $A$ con el centro de la esfera es normal al plano. Otro plano $p$ corta al segmento $AB$ y se encuentra con $C$ en $P$ y $Q$. Demuestre que $BP\cdot BQ$ es independiente de la elección de $p$.

6 Sea $n$ un entero positivo, $h$ un número real y $f(x)$ un polinomio (función racional entera) con coeficientes reales de grado $n$, el cual no tiene ceros reales. Demuestre que entonces el polinomio $$F(x) = f(x) + h f'(x) + h^2 f''(x) +... + h^n f^{(n)}(x)$$ tampoco tiene ceros reales.

4 Los vértices de un $n$-gono regular con centro $M$ se etiquetan secuencialmente como $P_1, P_2, ..., P_n$. a) Demuestre que los segmentos de recta $MP_k$ ($k = 1, 2, ..., n$) pueden trasladarse paralelamente a sí mismos de tal manera que, después de la traslación, formen los lados de un $n$-gono regular. b) Demuestre (por ejemplo, usando el teorema del inciso a)) que las siguientes relaciones son válidas para todo número natural $n$ mayor que $2$: $$\cos \frac{2\pi}{n}+ \cos \frac{4\pi}{n} + ... + \cos \frac{2\pi n}{n}= 0 $$ $$\sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + ... + \sin \frac{2\pi n}{n}= 0$$

512 La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demuestre que las diagonales son iguales.

5 Es bien sabido que para todo número natural $n$, un plano es dividido en exactamente $\frac12 (n^2 + n + 2)$ partes por $n$ rectas, de las cuales no hay tres que pasen por el mismo punto y no hay dos que sean paralelas. Determine, para todo número natural $n$, el número de partes en las que el espacio es dividido por $n$ planos, de los cuales no hay cuatro que pasen por el mismo punto, no hay tres que tengan rectas de intersección paralelas o coincidentes, y no hay dos que sean paralelos.