4 Los vértices de un $n$-gono regular con centro $M$ se etiquetan secuencialmente como $P_1, P_2, ..., P_n$. a) Demuestre que los segmentos de recta $MP_k$ ($k = 1, 2, ..., n$) pueden trasladarse paralelamente a sí mismos de tal manera que, después de la traslación, formen los lados de un $n$-gono regular. b) Demuestre (por ejemplo, usando el teorema del inciso a)) que las siguientes relaciones son válidas para todo número natural $n$ mayor que $2$: $$\cos \frac{2\pi}{n}+ \cos \frac{4\pi}{n} + ... + \cos \frac{2\pi n}{n}= 0 $$ $$\sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + ... + \sin \frac{2\pi n}{n}= 0$$

559 $E$ es un punto en la diagonal $BD$ del cuadrado $ABCD$. Demuestre que los puntos $A, E$ y los circuncentros de $ABE$ y $ADE$ forman un cuadrado.

Dos jugadores $A$ y $B$ mueven alternativamente un caballo en un tablero de ajedrez de $1994\times 1994$. El jugador $A$ realiza solo movimientos horizontales, es decir, aquellos en los que el caballo se mueve a una fila adyacente, mientras que $B$ realiza solo movimientos verticales. Inicialmente, el jugador $A$ coloca el caballo en una casilla arbitraria y realiza el primer movimiento. El caballo no puede ser movido a una casilla que ya haya sido visitada durante el juego. Un jugador que no pueda realizar un movimiento pierde. Demuestre que el jugador $A$ tiene una estrategia ganadora.

Se dan 579 $1992$ vectores en el plano. Dos jugadores eligen vectores no seleccionados de forma alternativa. El ganador es aquel cuyos vectores sumen un vector con mayor magnitud (o empatan si las magnitudes son iguales). ¿Puede el primer jugador evitar siempre perder?

6 $R^n$ denota el conjunto de todas las $n$-tuplas de números reales. En $R^n$, la suma se define mediante $$(x_1, x_2, ..., x_n) + (y_1, y_2, ..., y_n) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, ..., x_n + y_n)$$ y la multiplicación por cualquier número real $\lambda$ se define mediante $$ \lambda (x_1, x_2, ..., x_n) = ( \lambda x_1, \lambda x_2, ..., \lambda x_n), \,\,\, \lambda \in R.$$ Sea $M$ un subconjunto de $R^n$ tal que: con $(x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n) \in M$, para todo $\lambda$ con $0 \le \lambda \le 1$, tenemos $$\lambda (x_1, x_2, ..., x_n) + (1 -\lambda)(y_1, y_2, ..., y_n) \in M$$ Una $n$-tupla $(s_1, s_2, ..., s_n) \in M$ se denomina un *-elemento de $M$ si de $$(s_1, s_2, ..., s_n) = \frac12(x_1, x_2, ..., x_n) +\frac12(y_1, y_2, ..., y_n)$$ con $(x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n) \in M$ se sigue que $$s_1 = x_1 = y_1, s_2 = x_2 = y_2, ..., s_n = x_n = y_n$$ y, por tanto, $(s_1, s_2, ..., s_n) = (x_1, x_2, ..., x_n) = (y_1, y_2, ..., y_n)$. Demuestre que $(s_1, s_2, ..., s_n)$ es un *-elemento si y solo si para cualquier $\lambda$ con $0 < \lambda < 1$, de $$(s_1, s_2, ..., s_n) = \lambda (x_1, x_2, ..., x_n) + (1 - \lambda)(y_1, y_2, ..., y_n)$$ con $(x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n) \in M$, siempre se sigue que $$s_1 = x_1 = y_1, s_2 = x_2 = y_2, ..., s_n = x_n = y_n$$ por lo tanto, $$(s_1, s_2, ..., s_n) = (x_1, x_2, ..., x_n) = (y_1, y_2, ..., y_n)$$

1 a) Demuestre que cuando se divide cualquier número primo por $30$, el resto es $1$ o es un número primo. b) ¿Se aplica esto también al dividir un número primo por $60$? ¡Justifique su respuesta!

548 Un polígono puede transformarse en un nuevo polígono realizando un corte recto, lo cual crea dos nuevas piezas, cada una con una nueva arista. Luego, una pieza se voltea y las dos nuevas aristas se vuelven a unir. ¿Pueden transformaciones repetidas de este tipo convertir un cuadrado en un triángulo?

6 Se debe demostrar que para toda cuádrupla de números reales positivos $a, b, c, d$ se cumple la relación $$\sqrt[3]{\frac{abc + abd + acd + bcd}{4}} \le \sqrt{\frac{ab + ac + ad + bc + bd + cd}{6}},$$ y se debe investigar en qué casos ocurre la igualdad.

6B Para cada número natural $n \ge 5$, dé una partición de un $n$-gono regular y convexo en un número mínimo de a) todos triángulos acutángulos, b) todos triángulos obtusángulos. Nota: Una partición en triángulos se define como una partición del $n$-gono en la cual cada lado de un triángulo de la partición es, o bien simultáneamente un lado de otro triángulo de la partición, o bien uno de los lados del $n$-gono.

1 Demuestre que para todos los números reales $a, b, c, d$ con $0 < a \le b \le c \le d$ se cumple $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d} $$