2 Los ángulos interiores de un triángulo han sido medidos. La suma de los valores medidos $u, v, w$ obtenidos (como aproximaciones de las medidas reales de los ángulos interiores) es $180^o + \delta$ con $\delta \ne 0^o$. Se deben utilizar tres valores de corrección $x, y, z$ para modificar los valores medidos de tal manera que la suma de los valores resultantes $u + x$, $v + y$, $w + z$ sea igual a $180^o$. Demuestre que para todos los posibles valores de corrección $x, y, z$ bajo estas condiciones, el valor $S = x^2 + y^2 + z^2$ es mínimo si y solo si $x = y = z = -\frac{\delta}{3}$.

544 ¿Existe un triángulo en el cual dos lados sean múltiplos enteros de la mediana correspondiente a dicho lado? ¿Existe un triángulo en el cual cada lado sea un múltiplo entero de la mediana correspondiente a dicho lado?

540 $ABCD$ es un rectángulo. Se eligen los puntos $K, L, M, N$ sobre $AB, BC, CD, DA$ respectivamente, de tal manera que $KL$ es paralelo a $MN$ y $KM$ es perpendicular a $LN$. Demuestre que la intersección de $KM$ y $LN$ se encuentra sobre $BD$.

5 Es bien sabido que para todo número natural $n$, un plano es dividido en exactamente $\frac12 (n^2 + n + 2)$ partes por $n$ rectas, de las cuales no hay tres que pasen por el mismo punto y no hay dos que sean paralelas. Determine, para todo número natural $n$, el número de partes en las que el espacio es dividido por $n$ planos, de los cuales no hay cuatro que pasen por el mismo punto, no hay tres que tengan rectas de intersección paralelas o coincidentes, y no hay dos que sean paralelos.

Los círculos $C$ y $C'$ se cortan en $O$ y $X$. Un círculo con centro en $O$ corta a $C$ en $Q$ y $R$, y corta a $C'$ en $P$ y $S$. $PR$ y $QS$ se cortan en $Y$, distinto de $X$. Demuestre que $\angle YXO = 90^o$.

570 Defina la sucesión $a_1 = 1, a_2, a_3, ...$ mediante $$a_{n+1} = a_1^2 + a_2 ^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 + n$$ Demuestre que $1$ es el único cuadrado en la sucesión.

561 Se tiene una hoja infinita de papel cuadriculado. Algunos de los cuadrados contienen una ficha. Un movimiento consiste en que una ficha salte sobre una ficha en un cuadrado vecino (que comparte un lado) hacia un cuadrado vacío y retire la ficha sobre la cual saltó. Inicialmente, no hay fichas excepto en un rectángulo de $m \times n$ ($m, n > 1$) que tiene una ficha en cada cuadrado. ¿Cuál es el número mínimo de fichas que pueden quedar después de una serie de movimientos?

3 Determine el mayor número de regiones disjuntas por pares en las que se puede dividir la superficie de una esfera mediante $n$ círculos trazados sobre dicha superficie.

543 Demuestre que $\frac{(x + y + z)^2}{3} \ge x\sqrt{yz} + y\sqrt{zx} + z\sqrt{xy}$ para todos los números reales no negativos $x, y, z$.

2 Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros para los cuales se satisface la ecuación: $$x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y^2$$