3 En una tienda de mascotas, cuatro aviarios dispuestos en círculo contienen $222$ loros cada uno. A veces, una zoóloga toma un loro de un aviario y lo deja libre; junto con él, deja libre ya sea un loro del aviario opuesto, o dos loros del aviario a la izquierda, o tres loros del aviario a la derecha. En cierto momento, solo un aviario todavía contiene loros. ¿Cuál es el menor número posible de loros restantes?

1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB=AC$. Una recta $r$ que pasa por el incentro $I$ de $ABC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $F$ y $G$ puntos sobre $BC$ tales que $BF=CE$ y $CG=BD$. Demuestre que el ángulo $\angle FIG$ es constante cuando variamos la recta $r$.

1 Se da un triángulo con lados $a$ , $b$ y $c$. Denotemos por $s$ el semiperímetro, es decir $s = \frac{a + b + c}{2}$. Construya un triángulo con lados $s - a$ , $s - b$ y $s - c$. Este proceso se repite hasta que ya no se pueda construir un triángulo con las longitudes de los lados dadas. ¿Para qué triángulos originales se puede repetir este proceso indefinidamente?

Una tabla de $5 \times 5$ se llama regular si cada una de sus celdas contiene uno de cuatro números reales distintos entre sí, tales que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada subtabla de $2 \times 2$. La suma de todos los números de una tabla regular se llama suma total de la tabla. Con cualesquiera cuatro números, se construyen todas las tablas regulares posibles, se calculan sus sumas totales y se cuenta el número de resultados distintos. Determine el máximo conteo posible.

2 Sea $k$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, . . . , a_k$ números reales no negativos. Inicialmente, hay una sucesión de $n \geq k$ ceros escritos en una pizarra. En cada paso, Nicole elige $k$ números consecutivos escritos en la pizarra y aumenta el primer número en $a_1$, el segundo en $a_2$, y así sucesivamente, hasta que aumenta el $k$-ésimo en $a_k$. Después de un número positivo de pasos, Nicole logró hacer que todos los números en la pizarra fueran iguales. Demuestre que todos los números distintos de cero entre $a_1, a_2, . . . , a_k$ son iguales.

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ pasan por un punto $A$ y son tangentes a una recta $\ell$ en $B_1$ y $B_2$, respectivamente. Una recta variable $m$ pasa por $A$ y corta a $\omega_1$ y $\omega_2$ nuevamente en puntos (variables) $P_1$ y $P_2$, respectivamente. Los rayos $P_1B_1$ y $P_2B_2$ se intersecan en un punto $P$. Demuestre que la tangente al circuncírculo de $PP_1P_2$ en $P$ pasa por un punto independiente de la elección de $m$.

4 En el triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ cortan a la recta $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $p$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$, y sea $q$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$. Demuestre que las rectas $p$ y $q$ se cortan en la recta $BC$.

1 Un trapecio $ABCD$ ($AB || CD$, $AB > CD$) es circunscrito. El incírculo del triángulo $ABC$ toca las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Demuestre que el incentro del trapecio $ABCD$ se encuentra sobre la recta $MN$.

$3n$ personas se reunieron en una fiesta, con $n \ge 2$. Cada persona le desagrada exactamente a otra persona presente en la fiesta (pero no necesariamente de forma recíproca, es decir, puede ocurrir que a $A$ le desagrade $B$ aunque a $B$ no le desagrade $A$) y le agradan todas las demás. Demuestre que los invitados pueden sentarse en tres mesas de tal manera que a cada invitado le agraden todas las personas en su mesa.

3 Encuentre todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que el número $$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$ sea una potencia de $2016$. (Una potencia de $2016$ es un entero de la forma $2016^n$, donde $n$ es un entero no negativo.)