4 Determine todos los pares $(h,s)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: Si se trazan $h$ líneas horizontales y otras $s$ líneas que satisfacen (i) no son horizontales, (ii) no hay dos de ellas que sean paralelas, (iii) no hay tres de las $h + s$ líneas que sean concurrentes, entonces el número de regiones formadas por estas $h + s$ líneas es 1992.

6 Varias servilletas rectangulares azules y verdes (quizás de diferentes tamaños) con lados verticales y horizontales fueron colocadas en el plano. Resultó que cualesquiera dos servilletas de diferentes colores pueden ser atravesadas por una línea vertical u horizontal (quizás a lo largo del borde). Demuestre que es posible elegir un color, dos líneas horizontales y una línea vertical, de tal manera que cada servilleta del color elegido sea intersectada por al menos una de las líneas elegidas.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^\circ$. Una recta que une el punto medio de su altura $CH$ y el vértice $A$ corta a $CB$ en el punto $K$. Sea $L$ el punto medio de $BC$, y $T$ un punto del segmento $AB$ tal que $\angle ATK=\angle LTB$. Se sabe que $BC=1$. Encuentre el perímetro del triángulo $KTL$.

4 Ana y Bruno tienen un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Ana pinta cada uno de los $64$ cuadrados con algún color. Luego, Bruno elige dos filas y dos columnas del tablero y observa los $4$ cuadrados donde se intersecan. El objetivo de Bruno es que estos $4$ cuadrados sean del mismo color. ¿Cuántos colores, como mínimo, debe usar Ana para que Bruno no pueda cumplir su objetivo? Demuestre cómo se puede pintar el tablero con esta cantidad de colores y explique por qué, si se usan menos colores, Bruno siempre puede cumplir su objetivo.

1 Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob juegan un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$-gono regular. Alice realiza el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos, donde $k$ es el número de vértices adyacentes a $V$ que ya están coloreados. (Por lo tanto, $k$ es $0$, $1$ o $2$). El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen la misma cantidad de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

Calvin y Hobbes eligen alternativamente (Calvin primero) $2026$ enteros $(x_{k})_{k=1}^{2026} \ge n\ge 1$. Sea $\mathcal{C_{k}}$ el círculo en el plano que pasa por el origen con centro $\left(\frac{1}{x_{k}},0\right)$. La señorita Wormwood elige un punto $T$ al azar que se encuentra fuera del círculo más pequeño y dentro del círculo más grande. Sea $q$ el menor entero tal que $T$ se encuentra fuera de $\mathcal{C_{q}}$. Calvin gana si $x_{q}$ fue elegido por él. Hobbes gana en caso contrario. Encuentre la suma de todos los valores posibles de $n \leqslant 2026$ para los cuales Hobbes tiene una estrategia para tener una mayor probabilidad de ganar.

2 Sean $A$ y $B$ los dos focos de una elipse y sea $P$ un punto en dicha elipse. Demuestre que los radios focales de $P$ (es decir, los segmentos $\overline{AP}$ y $\overline{BP}$) forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en $P$.

1 Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos sucesiones $a_0, a_1, a_2, \dots$ y $b_0, b_1, b_2, \dots$ de números reales mediante $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2, \dots$. Encuentre todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $AB, CD, EF$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ABP$.