7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $AB, CD, EF$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ABP$.

8 Llamamos a un entero positivo $\textit{cheesy}$ si podemos obtener el promedio de los dígitos en su representación decimal colocando un separador decimal después del dígito más a la izquierda. Demuestre que solo existe una cantidad finita de números $\textit{cheesy}$.

Los números del $1$ al $2014$ están escritos en una pizarra. Una operación válida consiste en borrar dos números $a$ y $b$ de la pizarra y reemplazarlos por el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Demuestre que, sin importar cuántas operaciones se realicen, la suma de todos los números que permanecen en la pizarra es siempre mayor que $2014$ $\times$ $\sqrt[2014]{2014!}$

2 Un par de enteros positivos $(a,b)$ se llama charrua si existe un entero positivo $c$ tal que $a+b+c$ y $a\times b\times c$ son ambos números cuadrados; si no existe tal número $c$, entonces el par se llama no charrua. a) Demuestre que existen infinitos pares no charrua. b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $(2,n)$ es charrua.

3 Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto fuera de él tal que $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ y el área del pentágono $ABPCD$ es igual a $AB^{2}$. Demuestre que $ABPCD$ puede dividirse en 3 piezas mediante cortes rectos de tal manera que se pueda construir un cuadrado usando esas 3 piezas, sin dejar huecos ni superponer las piezas. Nota: las piezas pueden rotarse y voltearse.

4 Demuestre que el número $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ no es primo, donde $n$ es un entero positivo.

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que este se encuentra dentro de $ABCD$ y $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Sea $E$ la intersección de $AC$ con $BD$. Se trazan las rectas $r$ y $s$ que pasan por $E$ tales que $r$ es perpendicular a $BC$ y $s$ es perpendicular a $AD$. Sea $P$ la intersección de $r$ con $AD$, y $M$ la intersección de $s$ con $BC$. Sea $N$ el punto medio de $EO$. Demuestre que $M$, $N$ y $P$ están alineados.

6 Sea $F$ una familia de subconjuntos de $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ ( $n \geq 2$ ). Una jugada válida consiste en elegir dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $F$ y añadir $A \cup B$ a $F$ (sin eliminar $A$ y $B$). Inicialmente, $F$ contiene todos los subconjuntos que tienen solo un elemento de $S$. El objetivo es tener todos los subconjuntos de $n - 1$ elementos de $S$ en $F$ utilizando jugadas válidas. Determine el número mínimo de jugadas requeridas para alcanzar el objetivo.

1 Sea $S(n)$ la suma de todos los dígitos del número natural $n$. Determine todos los números naturales $n$ para los cuales ambos números $n + S(n)$ y $n - S(n)$ son potencias cuadradas de enteros distintos de cero.