1 Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ más de un número real, tales que $0\leq a_i\leq \frac{\pi}{2}$. Demuestre que $$\Bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\sin a_i}\Bigg)\Bigg(1+\prod_{i=1}^{n}(\sin a_i)^{\frac{1}{n}}\Bigg)\leq1.$$

4 Determine todos los pares $(h,s)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: Si se trazan $h$ líneas horizontales y otras $s$ líneas que satisfacen (i) no son horizontales, (ii) no hay dos de ellas que sean paralelas, (iii) no hay tres de las $h + s$ líneas que sean concurrentes, entonces el número de regiones formadas por estas $h + s$ líneas es 1992.

2 Sea $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$. Calcule la siguiente expresión en términos de $k$: \[ E(x,y) = \frac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \frac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}. \] Ciprus Valentin

3 Encuentre todos los enteros positivos $a, b, c, d$ y $n$ que satisfacen $n^a + n^b + n^c = n^d$ y demuestre que estas son las únicas soluciones.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $E$ y $F$ puntos sobre $BC$, tales que los ángulos $BAE$ y $FAC$ son iguales. Las rectas $AE$ y $AF$ intersecan al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $M$ y $N$. Sobre los rayos $AB$ y $AC$ tenemos puntos $P$ y $R$, tales que el ángulo $PEA$ es igual al ángulo $B$ y el ángulo $AER$ es igual al ángulo $C$. Sea $L$ la intersección de $AE$ y $PR$, y sea $D$ la intersección de $BC$ y $LN$. Demuestre que $$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|EF|}=\frac{1}{|ED|}.$$

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo con ángulo $\angle CAB=60^{\circ}$, sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ y el lado $BC$, y sean $r_B,r_C,r$ los radios respectivos de los incírculos de $ABD$, $ADC$, $ABC$. Sean $b$ y $c$ las longitudes de los lados $AC$ y $AB$ del triángulo. Demuestre que \[ \frac{1}{r_B} +\frac{1}{r_C} ~=~ 2\cdot\left( \frac1r +\frac1b +\frac1c\right)\]

Las alturas $AA_1, CC_1$ del triángulo acutángulo $ABC$ se cortan en el punto $H$; $B_0$ es el punto medio de $AC$. Una recta que pasa por $B$ y es paralela a $AC$ corta a $B_0A_1$ y $B_0C_1$ en los puntos $A'$ y $C'$, respectivamente. Demuestre que $AA'$, $CC'$ y $BH$ son concurrentes.

4 Decimos que un número es supersticioso cuando es igual a $13$ veces la suma de sus dígitos. Encuentre todos los números supersticiosos.

5 Sean $n_1$ , $n_2$ , $\ldots$ , $n_{1998}$ enteros positivos tales que \[ n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2. \] Demuestre que al menos dos de los números son pares. Iris

2 La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $O$ y $O_1$ los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Demuestre que $C_1O_1\perp AO$.