1 Encuentre todas las representaciones posibles de $2022$ como una suma de al menos dos enteros positivos consecutivos y demuestre que estas son las únicas representaciones.

1 Tarik desea elegir algunos números distintos del conjunto $S = \{2,...,111\}$ de tal manera que ninguno de los números elegidos pueda escribirse como el producto de otros dos números elegidos distintos. ¿Cuál es la cantidad máxima de números que Tarik puede elegir?

2 Para números reales positivos $a, b$ y $c$, demuestre que $$\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} +\frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} +\frac{c^3}{ c^2 + ca + a^2} \ge\frac{ a + b + c}{3}$$

4 Determine el triángulo con lados $a,b,c$ y circunradio $R$ para el cual $R(b+c) = a\sqrt{bc}$. Romania Valentin

4 Durante un recreo, $n$ niños en la escuela se sientan en círculo alrededor de su maestro para jugar un juego. El maestro camina en el sentido de las agujas del reloj cerca de los niños y reparte dulces a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla: selecciona a un niño y le da un dulce, luego se salta al siguiente niño y le da un dulce al siguiente, luego se salta 2 y le da un dulce al siguiente, luego se salta 3, y así sucesivamente. Determine los valores de $n$ para los cuales eventualmente, quizás después de muchas rondas, todos los niños tendrán al menos un dulce cada uno.

5 Se dan dos círculos tangentes y un punto $P$ en su tangente común perpendicular a las rectas que unen sus centros. Construya con regla y compás todos los círculos que sean tangentes a estos dos círculos y que pasen por el punto $P$.

2 Sea $P$ el producto de todos los polinomios ciclotómicos mónicos de grado $24$. Defina el operador $T_{2}(L(z)):= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} (z-\alpha_{i}^{2})$ para todo entero positivo $N$ y para cada $L(z):= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} (z-\alpha_{i})$. Encuentre el entero más pequeño $k \ge 0$ tal que $T_{2}^{k}(P)=T_{2}^{k+1}(P)$.

3 Defina una estrella regular de $n$ puntas como la unión de $n$ segmentos de recta $P_1P_2, P_2P_3, ..., P_nP_1$ tales que $\bullet$ los puntos $P_1,P_2,...,P_n$ son coplanares y no hay tres de ellos que sean colineales, $\bullet$ cada uno de los $n$ segmentos de recta interseca al menos a uno de los otros segmentos de recta en un punto distinto a un extremo, $\bullet$ todos los ángulos en $P_1, P_2,..., P_n$ son congruentes, $\bullet$ todos los $n$ segmentos de recta $P_1P_2, P_2P_3, ..., P_nP_1$ son congruentes, y $\bullet$ el camino $P_1P_2...P_nP_1$ gira en sentido antihorario en un ángulo menor a $180^o$ en cada vértice. No existen estrellas regulares de $3$, $4$ o $6$ puntas. Todas las estrellas regulares de $5$ puntas son semejantes, pero existen dos estrellas regulares de $7$ puntas no semejantes. Encuentre todos los valores posibles de $n$ tales que existan exactamente $29$ estrellas regulares de $n$ puntas no semejantes.

3 Un entero $a\ge1$ se llama Egeo si ninguno de los números $a^{n+2}+3a^n+1$ con $n\ge1$ es primo. Demuestre que hay al menos 500 enteros Egeos en el conjunto $\{1,2,\ldots,2018\}$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

2 Decimos que un entero positivo $n$ es encantador si existen un entero positivo $k$ y enteros positivos (no necesariamente distintos) $d_1, d_2, \ldots, d_k$ tales que $n = d_1d_2\cdots d_k$ y $d_i^2 \mid n + d_i$ para $i=1, 2, \ldots, k$. a) ¿Existen infinitos números encantadores? b) ¿Existe un número encantador, mayor que $1$, que sea un cuadrado perfecto de un entero?