2 Sean $a, b, c \in \mathbb{R}$ tales que $$a + b + c = a^2 + b^2 + c^2 = 1, \hspace{8px} a^3 + b^3 + c^3 \neq 1.$$ Decimos que una función $f$ es una función de Palić si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ es continua y satisface $$f(x) + f(y) + f(z) = f(ax + by + cz) + f(bx + cy + az) + f(cx + ay + bz)$$ para todo $x, y, z \in \mathbb{R}.$ Demuestre que cualquier función de Palić es infinitamente diferenciable y encuentre todas las funciones de Palić.

3 Sean $\alpha \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ y $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $A \neq O_n$, tales que $$A^2 + (A^*)^2 = \alpha A\cdot A^*,$$ donde $A^* = (\bar A)^T.$ Demuestre que $\alpha \in \mathbb{R}$, $|\alpha| \le 2$ y $A\cdot A^* = A^*\cdot A.$

4 Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos finitos no vacíos de $\mathbb{N} \cup \{0\}.$ Encuentre todos los números reales $a$ para los cuales la serie $$\sum_{A \in \mathcal{F}} \frac{1}{\sum_{k \in A}a^k}$$ es convergente.

1 Sean $a$, $b$ y $c$ números reales no negativos distintos entre sí. Demuestre que \[ (a + b + c) \left( \frac{a}{(b - c)^2} + \frac{b}{(c - a)^2} + \frac{c}{(a - b)^2} \right) > 4. \] (Karl Czakler)

2 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tales que $f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$ para todos los números reales positivos $x,y$. Propuesto por Athanasios Kontogeorgis, Grecia

2 En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada hacia la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ la que interseca a los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K, L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestre que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

6 Demuestre que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir

2 El Chapulín observó que el número $2014$ tiene una propiedad inusual. Al colocar sus ocho divisores positivos en orden creciente, el quinto divisor es igual a tres veces el tercero menos $4$. Un número de ocho divisores con esta propiedad inusual se llama número rojo. ¿Cuántos números rojos menores que $2014$ existen?

1 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Demuestre que $AP \geq AI$, y que la igualdad se cumple si y solo si $P=I$.

4 A partir de la sucesión $u_1, u_2,..., u_{2^n}$ , donde $n$ es un número natural, con $u_i \in\{+1,-1\}$ para $i = 1, 2,..., 2^n$ se forma la sucesión $u_1u_2$ , $u_2u_3$ , $...$ , $ u_{2^n-1}u_{2^n}$ , $u_{2^n}u_1$ , cuyos miembros son nuevamente $+1$ o $-1$. A partir de esta sucesión, siguiendo la misma regla, se construye una nueva sucesión de la misma manera y así sucesivamente. Demuestre que obtenemos una sucesión que consiste solo en $+1$ después de, a lo sumo, $2^n$ pasos.