2 En un triángulo $ABC$, la altura desde $A$ corta al circuncírculo nuevamente en $T$. Sea $O$ el circuncentro. Las rectas $OA$ y $OT$ cortan al lado $BC$ en $Q$ y $M$, respectivamente. Demuestre que \[\frac{S_{AQC}}{S_{CMT}} = \biggl( \frac{ \sin B}{\cos C} \biggr)^2 .\] Amir

5 Consideramos todos los enteros positivos de $14$ dígitos, divisibles por $18$, cuyos dígitos son exclusivamente $1$ y $2$, pero no hay dígitos $2$ consecutivos. ¿Cuántos de estos números existen?

4 Utilizando varios cubos de arista $1$ de color blanco, Guille construye un cubo grande. Luego, elige $4$ caras del cubo grande y las pinta de rojo. Finalmente, desarma el cubo grande y observa que la cantidad de cubos con al menos una cara pintada de rojo es $431$. Encuentre el número de cubos que utilizó para ensamblar el cubo grande. Analice todas las posibilidades.

1 Encuentre todos los números naturales $m$ tales que \[1! \cdot 3! \cdot 5! \cdots (2m-1)! = \biggl( \frac{m(m+1)}{2}\biggr) !.\] Amir

4 Un par $(a,b)$ de enteros positivos es Rioplatense si se cumple que $b + k$ es un múltiplo de $a + k$ para todo $k \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \}$. Demuestre que existe un conjunto infinito $A$ de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $A$, con $a < b$, el par $(a,b)$ es Rioplatense.

5 En el segmento $A C$ se toma un punto $B$. Construya los círculos $T_1, T_2$ y $T_3$ de diámetros $A B, BC$ y $AC$ respectivamente. Una recta que pasa por $B$ corta a $T_3$ en los puntos $P$ y $Q$, y a los círculos $T_1$ y $T_2$ en los puntos $R$ y $S$ respectivamente. Demuestre que $PR = Q S$.

3 En el rectángulo $ABCD$, $BC = 5$, $EC = 1/3 CD$ y $F$ es el punto donde se cortan $AE$ y $BD$. El triángulo $DFE$ tiene área $12$ y el triángulo $ABF$ tiene área $27$. Encuentre el área del cuadrilátero $BCEF$. https://1.bp.blogspot.com/-4w6e729AF9o/XNY9hqHaBaI/AAAAAAAAKL0/eCaNnWmgc7Yj9uV4z29JAvTcWCe21NIMgCK4BGAYYCw/s400/may%2B2011%2Bl1.png

2 Utilizando solo una vez cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ y $8$, escriba el cuadrado y el cubo de un entero positivo. Determine cuál puede ser ese número.

1 Las $4$ palabras clave $$\square * \otimes \,\,\,\, \oplus \rhd \bullet \,\,\,\, * \square \bullet \,\,\,\, \otimes \oslash \oplus$$ están en algún orden $$AMO \,\,\,\, SUR \,\,\,\, REO \,\,\,\, MAS$$ Decifre $$\otimes \oslash \square * \oplus \rhd \square \bullet \otimes $$

6 Sea $n \in \mathbb{N}$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}( 1 + 2 + ... + n )$ y $1 + 2 + ... + (a_1 + a_2) \le \frac{2}{3}( 1 + 2 + ... + n )$. Demuestre que existe una partición de $\{ 1, 2, ... , n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $| A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.