$N$ es rojo si y solo si $(1) \;\; N$ tiene ocho divisores positivos $1=d_1 < d_2 < \cdots < d_8=N$ y $(2) \;\; d_5 = 3d_3 - 4$. Suponga que $N < 2014$ es un número rojo. De acuerdo con la condición (1), tenemos los siguientes dos casos a considerar: Caso 1: $N = pqr$, donde $p < q < r$ son tres números primos. Entonces $(d_1,d_2,d_3) = (1,p,q)$. Suponga que $r < pq$. Entonces $(d_4,d_5)= (r,pq)$, lo que resulta en $pq = 3q - 4$ por la condición (2). Por lo tanto $q|4$, lo cual implica $q=2$, contradiciendo $q > p \geq 2$. A continuación, suponga que $r > pq$. Entonces $(d_4,d_5) = (pq,r)$, lo que significa que $r = 3q - 4 > pq$ por la condición (2). Por lo tanto $p < 3$, es decir, $p=2$, lo cual nos da $(3) \;\; N = pqr = 2q(3q - 4)$. Ahora, $N < 2014$ significa que $q(3q - 4) < 1007$, lo que resulta en $q < 19$. Por lo tanto $(q,r) = (q,3q-4) = (3, 5), (5,11), (7, 17), (11,29), (13,35), (17,47)$. Así, tenemos los siguientes números rojos: $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$, $N = 2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$, $N = 2 \cdot 7 \cdot 17 = 238$, $N = 2 \cdot 11 \cdot 29 = 638$, $N = 2 \cdot 17 \cdot 47 = 1598$. Caso 2: $N = p^3q$, donde $p$ y $q$ son números primos. Primero suponga que $q < p$. Entonces $(d_1,d_2,d_3,d_4,d_5) = (1, q, p, pq, p^2)$, lo que resulta en $p^2 = 3p - 4$ por la condición (2). Por lo tanto $p|4$, lo que significa que $p=2$, lo cual nos da la contradicción $0 = p^2 - 3p + 4 = 2^2 - 3 \cdot 2 + 4 = 2$. Suponga que $p < q < p^2$. Entonces $(d_1,d_2,d_3,d_4,d_5) = (1, p, q, p^2, pq)$, lo que nos da $pq = 3q - 4$ por la condición (2). Consecuentemente $q|4$, lo que significa que $q=2$, lo cual contradice $q > p \geq 2$. A continuación, suponga que $p^2 < q < p^3$. Entonces $(d_1,d_2,d_3,d_4,d_5) = (1, p, p^2, q, p^3)$, lo que resulta en $p^3 = 3p^2 - 4$ por la condición (2). Por lo tanto $p=2$ y $d_3 = p^2 = 2^2 = 4 < d_3 = q < d_4 = p^3 = 2^3 = 8$. Por lo tanto $q=5$ o $q=7$, lo que significa que $N=2^3 \cdot 5 = 40$ y $N=2^3 \cdot 7 = 56$ son números rojos. Finalmente, suponga que $q > p^3$. Entonces $(d_1,d_2,d_3,d_4,d_5) = (1, p, p^2, p^3, q)$, lo que resulta en $q = 3p^2 - 4$ por la condición (2). De $q > p^3$ obtenemos $p^2(p - 3) < -4$, lo que implica la contradicción $p < 2$. Conclusión: Hay siete números rojos menores que 2014.

2014 Rioplatense Mathematical Olympiad, Level 3 2014 P2

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