4 A partir de la sucesión $u_1, u_2,..., u_{2^n}$ , donde $n$ es un número natural, con $u_i \in\{+1,-1\}$ para $i = 1, 2,..., 2^n$ se forma la sucesión $u_1u_2$ , $u_2u_3$ , $...$ , $ u_{2^n-1}u_{2^n}$ , $u_{2^n}u_1$ , cuyos miembros son nuevamente $+1$ o $-1$. A partir de esta sucesión, siguiendo la misma regla, se construye una nueva sucesión de la misma manera y así sucesivamente. Demuestre que obtenemos una sucesión que consiste solo en $+1$ después de, a lo sumo, $2^n$ pasos.

4 Ana y Bruno tienen un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Ana pinta cada uno de los $64$ cuadrados con algún color. Luego, Bruno elige dos filas y dos columnas del tablero y observa los $4$ cuadrados donde se intersecan. El objetivo de Bruno es que estos $4$ cuadrados sean del mismo color. ¿Cuántos colores, como mínimo, debe usar Ana para que Bruno no pueda cumplir su objetivo? Demuestre cómo se puede pintar el tablero con esta cantidad de colores y explique por qué, si se usan menos colores, Bruno siempre puede cumplir su objetivo.

4 Durante un recreo, $n$ niños en la escuela se sientan en círculo alrededor de su maestro para jugar un juego. El maestro camina en el sentido de las agujas del reloj cerca de los niños y reparte dulces a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla: selecciona a un niño y le da un dulce, luego se salta al siguiente niño y le da un dulce al siguiente, luego se salta 2 y le da un dulce al siguiente, luego se salta 3, y así sucesivamente. Determine los valores de $n$ para los cuales eventualmente, quizás después de muchas rondas, todos los niños tendrán al menos un dulce cada uno.

Calvin y Hobbes eligen alternativamente (Calvin primero) $2026$ enteros $(x_{k})_{k=1}^{2026} \ge n\ge 1$. Sea $\mathcal{C_{k}}$ el círculo en el plano que pasa por el origen con centro $\left(\frac{1}{x_{k}},0\right)$. La señorita Wormwood elige un punto $T$ al azar que se encuentra fuera del círculo más pequeño y dentro del círculo más grande. Sea $q$ el menor entero tal que $T$ se encuentra fuera de $\mathcal{C_{q}}$. Calvin gana si $x_{q}$ fue elegido por él. Hobbes gana en caso contrario. Encuentre la suma de todos los valores posibles de $n \leqslant 2026$ para los cuales Hobbes tiene una estrategia para tener una mayor probabilidad de ganar.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $E$ y $F$ puntos sobre $BC$, tales que los ángulos $BAE$ y $FAC$ son iguales. Las rectas $AE$ y $AF$ intersecan al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $M$ y $N$. Sobre los rayos $AB$ y $AC$ tenemos puntos $P$ y $R$, tales que el ángulo $PEA$ es igual al ángulo $B$ y el ángulo $AER$ es igual al ángulo $C$. Sea $L$ la intersección de $AE$ y $PR$, y sea $D$ la intersección de $BC$ y $LN$. Demuestre que $$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|EF|}=\frac{1}{|ED|}.$$

1 Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob juegan un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$-gono regular. Alice realiza el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos, donde $k$ es el número de vértices adyacentes a $V$ que ya están coloreados. (Por lo tanto, $k$ es $0$, $1$ o $2$). El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen la misma cantidad de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

2 Decimos que un entero positivo $n$ es encantador si existen un entero positivo $k$ y enteros positivos (no necesariamente distintos) $d_1, d_2, \ldots, d_k$ tales que $n = d_1d_2\cdots d_k$ y $d_i^2 \mid n + d_i$ para $i=1, 2, \ldots, k$. a) ¿Existen infinitos números encantadores? b) ¿Existe un número encantador, mayor que $1$, que sea un cuadrado perfecto de un entero?

1 Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ más de un número real, tales que $0\leq a_i\leq \frac{\pi}{2}$. Demuestre que $$\Bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\sin a_i}\Bigg)\Bigg(1+\prod_{i=1}^{n}(\sin a_i)^{\frac{1}{n}}\Bigg)\leq1.$$

3 Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x^3) + f(y)^3 + f(z)^3 = 3xyz $$ para todos los números reales $x$, $y$ y $z$ con $x+y+z=0$.

4 Cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ yacen sobre un círculo $\tau$ en sentido horario en ese orden, tales que $AB \parallel CE$ y $\angle ABC > 90^{\circ}$. Sea $k$ un círculo tangente a $AD$, $CE$ y $\tau$ tal que $k$ y $\tau$ se tocan en el arco $\widehat{DE}$ que no contiene a $A$, $B$ y $C$. Sea $F \neq A$ la intersección de $\tau$ y la recta tangente a $k$ que pasa por $A$, distinta de $AD$. Demuestre que existe un círculo tangente a $BD$, $BF$, $CE$ y $\tau$.