3 Sean $x, y, z$ enteros positivos tales que $xy=z^2+2$. Demuestre que existen enteros $a, b, c, d$ tales que se satisfacen las siguientes igualdades: \begin{eqnarray*} x=a^2+2b^2\\ y=c^2+d^2\\ z=ac+2bd\\ \end{eqnarray*} Propuesto por Isaac Jiménez

4 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que se cumple la siguiente afirmación: Si un polígono convexo de $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en un círculo y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que si los pares de lados opuestos \[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\] son paralelos, entonces los lados \[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\] también son paralelos.

1 Escriba el número $\frac{1997}{1998}$ como una suma de números distintos, inversos de números naturales.

24 Dado un entero positivo $k$, sea $r_2(k)$ la menor potencia de $2$ que no divide a $k$. Por ejemplo, $r_2(12) = 8$ y $r_2(1) = 2$. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que la desigualdad \[ n\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} r_2(j-i)x_ix_j \geq 2025 \] se cumple para todos los números reales $x_1, x_2, \dots, x_n$ que satisfacen $x_1+x_2+\dots+x_n = 1$. Propuesto por MV Adhitya Rijul

7 La función $f$ está definida sobre el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determine $f$.

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $T$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a $\Gamma$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $TBC$ y sean $M(\neq T)$ y $N(\neq T)$ las segundas intersecciones de $TA$ y $TD$ con $\omega$, respectivamente. Sean $AD$ y $BC$ rectas que se cortan en $E$ y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $EMN$. Si $AD$ corta a $\Omega$ nuevamente en $X \neq E$, demuestre que la recta tangente a $\Omega$ en $X$ es también tangente a $\omega$. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara Rijul

5 Sean $a_1,a_2,...,a_k$ enteros positivos, y sea $P$ su producto. Considere la ecuación $$n= \left \lceil \frac{n}{a_1} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{a_2} \right\rceil + \cdots + \left\lceil \frac{n}{a_k} \right\rceil.$$ Suponga que la ecuación tiene estrictamente más de $\frac{P}{2}$ soluciones en enteros positivos $n$. Demuestre que tiene al menos $P$ soluciones en enteros no negativos $n$. Propuesto por Shantanu Nene Rijul

14 Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo entero positivo $n>N$, se pueden colocar $n$ puntos en el plano de manera que: • No haya tres puntos colineales. • Haya a lo sumo $0.01 n^3$ formas de elegir tres de los $n$ puntos tales que el triángulo formado por ellos contenga a lo sumo $n^{0.99}$ puntos. Propuesto por Bhavya Tiwari y Shantanu Nene Rijul

8 Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$. En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB]$, $[BC]$ y $[AC]$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos corta al tercer círculo en $E$. Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$. Evalúe la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ en función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$.

16 En una entrevista de trabajo, a los candidatos se les hacen preguntas en una secuencia. La puntuación inicial es $0$. La puntuación del candidato se calcula de la siguiente manera: $\bullet$ después de una respuesta correcta, la puntuación aumenta en $1$; $\bullet$ después de una respuesta incorrecta, la puntuación se divide por $2$. Si al candidato se le hacen $n$ preguntas y responde a todas ellas, ¿cuántas puntuaciones diferentes son posibles? Nota: Dos secuencias de respuestas diferentes de la misma longitud pueden resultar en la misma puntuación: las secuencias $RRW$ y $WWR$ de la misma longitud, donde $R$ denota la respuesta correcta y $W$ denota la respuesta incorrecta, ambas resultan en la misma puntuación de 1. Propuesto por S. Muralidharan Rijul