2 Demuestre que existen infinitos triángulos no congruentes que satisfacen las siguientes condiciones: i) las longitudes de sus lados son enteros primos entre sí; ii) el área es un número entero; iii) las longitudes de las alturas no son números enteros.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo con centro en $O$. Sea $M$ un punto en el arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita al triángulo. La perpendicular trazada desde $M$ al rayo $OA$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. De manera similar, la perpendicular trazada desde $M$ al rayo $OB$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en $N$ y $P$, respectivamente. Suponga que $KL=MN$. Encuentre la medida del ángulo $\angle{MLP}$ en términos de los ángulos del triángulo $ABC$.

6 En un tablero de 8 × 8, una rana salta de casilla en casilla (siempre desde la casilla en la que se encuentra a una casilla que comparte un lado con ella). Partiendo de una casilla de esquina del tablero, la rana realiza 64 saltos, de modo que visita todas las casillas del tablero y finalmente regresa a la casilla de inicio. Con cada salto, se calcula la distancia desde el centro de la casilla donde se encuentra la rana hasta el centro del tablero. Un salto de la rana se considera elegante si la distancia al centro, después del salto, disminuye. Calcule, con justificación, el mayor número posible de saltos elegantes realizados por la rana.

5 Sea $ABC$ un triángulo, $M$ el punto medio del segmento $AC$ y $H$ el punto de intersección de la recta perpendicular a $AB$ trazada por $C$ con el segmento $AB$. Demuestre que $CH$ pasa por el punto medio del segmento $BM$ si y solo si $3AC^{2} = 3BC^{2} + AB^{2}$.

3 Resuelva los siguientes incisos: a) En la primera figura, el triángulo $ABC$ es isósceles y rectángulo en $B$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ son los puntos de tangencia del círculo exinscrito con los lados del triángulo. Si el área del triángulo $DEF$ es 1 $cm^{2}$, encuentre el área del triángulo $ABC$. b) En el triángulo $ABC$, rectángulo en $B$, si $AB = 3 cm$ y $BC = 4 cm$, encuentre el valor de $\frac{S_1 + S_2}{S_3}$, donde $S_1$, $S_2$ y $S_3$ son las áreas como se muestra en la segunda figura.

7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB<AC$. Sea $T(\ne B,C, H)$ cualquier otro punto en el arco $\stackrel{\LARGE\frown}{BHC}$ del circuncírculo de $BHC$ y sea la recta $BT$ que interseca a la recta $AC$ en $E(\ne A)$ y sea la recta $CT$ que interseca a la recta $AB$ en $F(\ne A)$. Sean los circuncírculos de $AEF$ y $ABC$ que se intersecan de nuevo en $X$ ($\ne A$). Sean las rectas $XE,XF,XT$ que intersecan al circuncírculo de $(ABC)$ de nuevo en $P,Q,R$ ($\ne X$). Demuestre que las rectas $AR,BC,PQ$ son concurrentes. Rijul

14 Sea $\{x_n\}$ una sucesión de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\] Demuestre que, para todo número natural $k$, existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

12 Encuentre todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

11 Diez apostadores comenzaron a jugar con la misma cantidad de dinero. En cada turno, lanzaban cinco dados. En cada etapa, el apostador que había lanzado pagaba a cada uno de sus 9 oponentes $\frac{1}{n}$ veces la cantidad que ese oponente poseía en ese momento. Lanzaron y pagaron uno tras otro. En la décima ronda (es decir, cuando cada apostador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados mostraron un total de 12 y, después del pago, resultó que cada jugador tenía exactamente la misma suma que tenía al principio. ¿Es posible determinar el total mostrado por los dados en las nueve rondas anteriores?

9 Sea $p$ un número primo. Demuestre que no existe ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse de la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.