14 Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo entero positivo $n>N$, se pueden colocar $n$ puntos en el plano de manera que: • No haya tres puntos colineales. • Haya a lo sumo $0.01 n^3$ formas de elegir tres de los $n$ puntos tales que el triángulo formado por ellos contenga a lo sumo $n^{0.99}$ puntos. Propuesto por Bhavya Tiwari y Shantanu Nene Rijul

7 La función $f$ está definida sobre el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determine $f$.

10 Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son tangentes (externa o internamente) en un punto $P$. La recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demuestre que la recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$.

3 El segmento de longitud $\ell$ con los extremos en el borde de un triángulo divide el área de dicho triángulo a la mitad. Demuestre que $\ell > r\sqrt{2}$, donde $r$ es el radio del círculo inscrito del triángulo.

1 Encuentre todas las funciones $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ tales que $$(f(x + y))^2 = f(x^2) + f(y^2)$$ para todo $x, y \in \mathbb Z$.

13 Dadas tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 pertenece a al menos una de ellas, demuestre que el número 1980 también pertenece a al menos una de ellas.

24 Dado un entero positivo $k$, sea $r_2(k)$ la menor potencia de $2$ que no divide a $k$. Por ejemplo, $r_2(12) = 8$ y $r_2(1) = 2$. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que la desigualdad \[ n\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} r_2(j-i)x_ix_j \geq 2025 \] se cumple para todos los números reales $x_1, x_2, \dots, x_n$ que satisfacen $x_1+x_2+\dots+x_n = 1$. Propuesto por MV Adhitya Rijul

4 Considere un tablero de $2025\times 2025$ donde identificamos las casillas con pares $(i,j)$ donde $i$ y $j$ denotan el número de fila y columna de dicha casilla, respectivamente. Calvin elige dos enteros positivos $a,b<2025$ y coloca un peón en la esquina inferior izquierda (es decir, en $(1,1)$) y realiza los siguientes movimientos. En su $k$-ésimo movimiento, mueve el peón de $(i,j)$ a $(i+a,j)$ o $(i,j+a)$ si $k$ es impar, y a $(i+b,j)$ o $(i,j+b)$ si $k$ es par. Aquí todos los números se toman módulo $2025$. Encuentre el número de pares $(a,b)$ que Calvin pudo haber elegido de tal manera que pueda realizar movimientos para que el peón cubra todas las casillas del tablero sin estar en ninguna casilla dos veces. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu Rijul

23 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incírculo $\omega$. Denotemos por $N$ al punto medio del arco $BAC$ en el circuncírculo de $ABC$, y por $D$ al punto donde el $A$-excírculo toca a $BC$. Suponga que el circuncírculo de $AND$ corta a $BC$ nuevamente en $P \neq D$ e interseca a $\omega$ en dos puntos $X$, $Y$. Demuestre que $PX$ o $PY$ es tangente a $\omega$. Propuesto por Sanjana Philo Chacko Rijul

6 Demuestre que la sucesión de los primeros dígitos de los números de la forma $2^n+3^n$ no es periódica.