4 Demuestre que la ecuación $$a^2b=2017(a+b)$$ no tiene soluciones para enteros positivos $a$ y $b$. Propuesto por Oriol Solé

17 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demuestre que las mediatrices de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

3 Sean $x, y, z$ enteros positivos tales que $xy=z^2+2$. Demuestre que existen enteros $a, b, c, d$ tales que se satisfacen las siguientes igualdades: \begin{eqnarray*} x=a^2+2b^2\\ y=c^2+d^2\\ z=ac+2bd\\ \end{eqnarray*} Propuesto por Isaac Jiménez

16 Demuestre que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$. (El valor de $k$ no está fijo, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ subconjuntos no vacíos posibles).

15 Demuestre que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

14 Sea $\{x_n\}$ una sucesión de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\] Demuestre que, para todo número natural $k$, existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

13 Dadas tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 pertenece a al menos una de ellas, demuestre que el número 1980 también pertenece a al menos una de ellas.

7 La función $f$ está definida sobre el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determine $f$.

6 Encuentre los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

14 Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo entero positivo $n>N$, se pueden colocar $n$ puntos en el plano de manera que: • No haya tres puntos colineales. • Haya a lo sumo $0.01 n^3$ formas de elegir tres de los $n$ puntos tales que el triángulo formado por ellos contenga a lo sumo $n^{0.99}$ puntos. Propuesto por Bhavya Tiwari y Shantanu Nene Rijul