10 Un número \( n \) se llama afortunado si tiene al menos dos divisores primos distintos y puede escribirse de la forma: \[ n = p_1^{\alpha_1} + \cdots + p_k^{\alpha_k} \] donde \( p_1, \dots, p_k \) son números primos distintos que dividen a \( n \). (Nota: es posible que \( n \) tenga otros divisores primos que no estén entre \( p_1, \dots, p_k \)). Demuestre que para todo número primo \( p \), existe un número afortunado \( n \) tal que \( p \mid n \). Propuesto por Navid Safaei

8 Suponga que \( n \in \mathbb{N} \) es un número natural. Una función \( f(x, y) \) se denomina \textit{\( n \)-amigable} si para menos del 1\% de los enteros \( k \) con \( -n \leq k \leq n \), la ecuación \( f(x, y) = k \) tiene una solución en números naturales \( (x, y) \) tal que \( \frac{y_0}{x_0} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \), donde \( (x_0, y_0) \) es una solución. Suponga que \( f(x, y) \leq g(x, y) \), donde \( g(x, y) \) es un polinomio con coeficientes reales, coeficientes principales negativos y grado total mayor que 2, y para todo número real \( x \), tenemos que \( g(x, y) \to \infty \) cuando \( \frac{y}{x} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \). Demuestre que para \( n \) suficientemente grande, la función \( f \) no es \( n \)-amigable. Propuesto por Navid Safaei

7 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $P$ un punto arbitrario en $AM$. La reflexión de $BP$ sobre $AB$ corta a las rectas $AC$ y $AM$ en $T$ y $Q$, respectivamente. Los circuncírculos de $BPQ$ y $ABC$ se cortan nuevamente en $F$. Demuestre que el centro del circuncírculo de $CFT$ yace sobre $BQ$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard

6 Encuentre todas las funciones \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que para todos los números reales positivos \( x \) e \( y \), se tiene \[ f(f(f(xy)) + x^2) = f(y)(f(x) - f(x + y)). \] Propuesto por Sobhan Aram

5 En un triángulo escaleno $ABC$, $D$ es el punto de tangencia del incírculo con el lado $BC$. Los puntos $T_B$ y $T_C$ son las intersecciones de las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ con el circuncírculo de $ABC$, respectivamente. Sea $X_B$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ACD$, y sea $X_C$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ABD$. Demuestre que los triángulos $B T_C X_C$ y $C T_B X_B$ son semejantes. Propuesto por Sobhan Aram

4 Los números del 2 al 99 están escritos en una pizarra. En cada paso, se realiza una de las siguientes operaciones: $a)$ Elija un número natural \( i \) tal que \( 2 \leq i \leq 89 \). Si ambos números \( i \) e \( i+10 \) están en la pizarra, bórrelos ambos. $b)$ Elija un número natural \( i \) tal que \( 2 \leq i \leq 98 \). Si ambos números \( i \) e \( i+1 \) están en la pizarra, bórrelos ambos. Al realizar estas operaciones, ¿cuál es el número máximo de números que pueden ser borrados de la pizarra? Propuesto por Arvin Taheri y Sajjad Hosseini

3 Suponga que se trazan \( n > 10 \) líneas en el plano tales que no hay tres de ellas concurrentes y no hay dos paralelas. Al menos \( \frac{n^2}{8} + 1 \) de las regiones acotadas formadas están coloreadas de negro. Un triángulo formado por tres líneas se denomina \textit{triángulo bueno} si se encuentra completamente dentro de una región negra. Demuestre que existen al menos \( \frac{n}{2} \) triángulos buenos. (Un triángulo bueno es una región acotada con área finita.) Propuesto por Mehran Talaei

2 Suponga que \( p \) es un número primo. Tenemos una cantidad de cartas, cada una de las cuales tiene un número escrito de tal manera que cada uno de los números \( 1, \dots, p-1 \) aparece a lo sumo una vez y el $0$ aparece exactamente una vez. Para diseñar un juego, para cada par de cartas \( x \) e \( y \), queremos determinar qué carta gana sobre la otra. Deben satisfacerse las siguientes condiciones: $a)$ Si la carta \( x \) gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) gana sobre la carta \( z \), entonces la carta \( x \) también debe ganar sobre la carta \( z \). $b)$ Si la carta \( x \) no gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) no gana sobre la carta \( z \), entonces para cualquier carta \( t \), la carta \( x + z \) no debe ganar sobre la carta \( y + t \). ¿Cuál es el número máximo de cartas tal que el juego pueda ser diseñado (es decir, una carta no derrota a otra a menos que la victoria sea simétrica o consistente)? Propuesto por Ali Partofard

1 Sea \( a_n \) una sucesión de números reales positivos tal que para todo \( n > 2025 \), tenemos: \[ a_n = \max_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} - \min_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} \] Demuestre que existe un número natural \( M \) tal que para todo \( n > M \), se cumple lo siguiente: \[ a_n < \frac{1}{1404} \] Propuesto por Navid Safaei

1.3 Demuestre que la ecuación $a^2 - b^2=ab - 1$ tiene infinitas soluciones, si $a,b$ son enteros positivos