237 a) Dado un círculo con dos triángulos inscritos $T_1$ y $T_2$. Los vértices de $T_1$ son los puntos medios de los arcos cuyos extremos son los vértices de $T_2$. Considere un hexágono, la intersección de $T_1$ y $T_2$. Demuestre que sus diagonales principales son paralelas a los lados de $T_1$ y que se cortan en un mismo punto. b) El segmento que conecta los puntos medios de los arcos $AB$ y $AC$ del círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$, corta a los lados $[AB]$ y $[AC]$ en los puntos $D$ y $K$. Demuestre que los puntos $A, D, K$ y $O$ —el centro del círculo— son los vértices de un rombo.

238 Varias fichas blancas y negras están colocadas a lo largo de una circunferencia. Dos hombres retiran fichas por turnos. El primero retira todas las negras que tenían al menos una vecina blanca, y el segundo, todas las blancas que tenían al menos una vecina negra. Se detienen cuando todas las fichas son del mismo color. a) Sea $40$ el número de fichas inicialmente. ¿Es posible que después de dos movimientos de cada hombre quede solo una ficha? b) Sea $1000$ el número de fichas inicialmente. ¿Cuál es el número mínimo posible de movimientos para llegar a la posición en la que quede solo una ficha?

220 Hay $50$ relojes exactos sobre una mesa. Demuestre que existe un momento determinado en el que la suma de las distancias desde el centro de la mesa hasta los extremos de los minuteros es mayor que la suma de las distancias desde el centro de la mesa hasta los centros de los relojes.

221 Una fila de $1000$ números está escrita en la pizarra. Escribimos una nueva fila, debajo de la primera, de acuerdo con la siguiente regla: escribimos debajo de cada número $a$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $a$ en la primera fila. Luego escribimos la tercera fila: debajo de cada número $b$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $b$ en la segunda fila, y así sucesivamente. a) Demuestre que existe una fila que coincide con la precedente. b) Demuestre que la undécima fila coincide con la duodécima. c) Dé un ejemplo de una fila inicial tal que la décima fila sea diferente de la undécima.

058 Un círculo está circunscrito alrededor del triángulo $ABC$. Las cuerdas, desde el punto medio del arco $AC$ hasta los puntos medios de los arcos $AB$ y $BC$, intersecan los lados $[AB]$ y $[BC]$ en los puntos $D$ y $E$. Demuestre que $(DE)$ es paralela a $(AC)$ y pasa por el centro del círculo inscrito.

057 Dado un tablero $3\times3$ y $9$ tarjetas con algunos números (conocidos por los jugadores). Dos jugadores, por turnos, colocan esas tarjetas en el tablero. El primero gana si la suma de los números en la primera y la tercera fila es mayor que en la primera y la tercera columna. Demuestre que no importa qué números haya en las tarjetas, si el primero juega de la mejor manera, el segundo no puede ganar.

056 a) Cada uno de los números $x_1,x_2,...,x_n$ puede ser $1, 0$ o $-1$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de la suma de todos los productos de parejas de dichos números? b) El valor absoluto de cada uno de los números $x_1,x_2,...,x_n$ no excede $1$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de la suma de todos los productos de parejas de dichos números?

075 a) Los alumnos de octavo grado están formados en una fila. Delante de cada uno hay un alumno de séptimo grado, y este es más bajo (en estatura) que el mayor. Demuestre que si se ordenan los alumnos en cada una de las filas con respecto a su estatura, cada alumno de octavo grado seguirá siendo más alto que el alumno de séptimo grado que está delante de él. b) Los soldados de un destacamento de infantería están formados en un rectángulo, dispuestos en columnas con respecto a su estatura. Demuestre que si se reordenan con respecto a su estatura en cada fila por separado, seguirán estando ordenados con respecto a su estatura en las columnas.

074 ¿Pueden tanto $(x^2+y)$ como $(y^2+x)$ ser cuadrados perfectos para $x$ e $y$ naturales?

073 a) Sean $B$ y $C$ puntos dentro del segmento $[AD]$. $|AB|=|CD|$. Demuestre que para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD|>|PB|+|PC|$$ b) Dados cuatro puntos $A,B,C,D$ en el plano. Para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD| > |PB|+|PC|.$$ Demuestre que los puntos $B$ y $C$ están dentro del segmento $[AD]$ y $|AB|=|CD|$.