329 a) Sean $m$ y $n$ números naturales. Para ciertos enteros no negativos $k_1, k_2, ... , k_n$, el número $$2^{k_1}+2^{k_2}+...+2^{k_n}$$ es divisible por $(2^m-1)$. Demuestre que $n \ge m$. b) ¿Puede encontrar un número, divisible por $111...1$ ($m$ veces "$1$"), cuya suma de sus dígitos sea menor que $m$?

087 a) ¿Puede usted colocar los números $0,1,...,9$ en la circunferencia de tal manera que la diferencia entre cada dos vecinos sea $3$, $4$ o $5$? b) La misma pregunta, pero para los números $0,1,...,13$.

330 Se escribe un número real no negativo en cada vértice de un cubo. La suma de esos números es igual a $1$. Dos jugadores eligen por turnos las caras del cubo, pero no pueden elegir la cara paralela a una ya elegida (el primero mueve dos veces, el segundo una vez). Demuestre que el primer jugador puede lograr que el número en el vértice común a las tres caras elegidas no sea mayor que $1/6$.

304 Dos tableros de ajedrez iguales ($8\times 8$) tienen el mismo centro, pero uno está rotado $45$ grados con respecto al otro. Encuentre el área total de la intersección de los campos negros, si los campos tienen lados de longitud unitaria.

085 a) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que la suma del número dado y el número obtenido no puede ser igual a $999...9$ ($1967$ nueves). b) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que si la suma del número dado y el número obtenido es igual a $1010$, entonces el número dado era divisible por $10$.

305 Dados los puntos $A, B, M, N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.

306 Sea un número natural que tiene la propiedad $P(k)$ si puede representarse como un producto de $k$ números naturales consecutivos mayores que $1$. a) Encuentre $k$ tal que exista $n$ que tenga las propiedades $P(k)$ y $P(k+2)$ simultáneamente. b) Demuestre que no existe ningún número que tenga las propiedades $P(2)$ y $P(4)$ simultáneamente.

307 La tabla rectangular tiene cuatro filas. La primera contiene números naturales arbitrarios (algunos de ellos pueden ser iguales). Las filas consecutivas se completan de acuerdo con la siguiente regla: observamos la fila anterior de izquierda a derecha hasta un cierto número $n$ y escribimos el número $k$ si $n$ apareció $k$ veces. Demuestre que la segunda fila coincide con la cuarta.

084 a) La altura máxima $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$. Demuestre que el ángulo $ABC$ no es mayor a $60$ grados. b) La altura $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$ y a la bisectriz $|CD|$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.