161 Encuentre el $x$ máximo tal que la expresión $4^{27} + 4^{1000} + 4^x$ sea un cuadrado perfecto.

072 Hay exactamente un astrónomo en cada planeta de un sistema determinado. Él observa el planeta más cercano. El número de planetas es impar y todas las distancias son diferentes. Demuestre que hay un planeta que no está siendo observado.

162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

222 Dadas tres circunferencias del mismo radio en un plano. a) Las tres se cruzan en un punto $K$. Considere tres arcos $AK, CK, EK$: $A, C, E$ son los puntos de intersección de las circunferencias y los arcos se toman en el sentido de las agujas del reloj. Cada arco está dentro de un círculo, fuera del segundo y en el borde del tercero. Demuestre que la suma de los arcos es $180$ grados. b) Considere el caso en el que los tres círculos forman un triángulo curvilíneo $BDF$ como su intersección (en lugar de un punto $K$). Los arcos se toman en el sentido de las agujas del reloj. Cada arco está dentro de un círculo, fuera del segundo y en el borde del tercero. Demuestre que la suma de los arcos $AB, CD$ y $EF$ es $180$ grados.

087 a) ¿Puede usted colocar los números $0,1,...,9$ en la circunferencia de tal manera que la diferencia entre cada dos vecinos sea $3$, $4$ o $5$? b) La misma pregunta, pero para los números $0,1,...,13$.

223 Los números naturales $x_1$ y $x_2$ son menores que $1000$. Construimos una sucesión: $$x_3 = |x_1 - x_2|$$ $$x_4 = min \{ |x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_2 - x_3|\}$$ $$...$$ $$x_k = min \{ |x_i - x_j|, 0 <i < j < k\}$$ $$...$$ Demuestre que $x_{21} = 0$.

084 a) La altura máxima $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$. Demuestre que el ángulo $ABC$ no es mayor a $60$ grados. b) La altura $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$ y a la bisectriz $|CD|$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

085 a) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que la suma del número dado y el número obtenido no puede ser igual a $999...9$ ($1967$ nueves). b) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que si la suma del número dado y el número obtenido es igual a $1010$, entonces el número dado era divisible por $10$.

086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

Algunos estudiantes de la facultad hablan varios idiomas y otros solo ruso. $50$ de ellos saben inglés, $50$ francés y $50$ español. Demuestre que es posible dividirlos en $5$ grupos, no necesariamente iguales, para obtener $10$ de ellos que sepan inglés, $10$ francés y $10$ español en cada grupo.