4 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $2^{2^n+1}+1$ es divisible por $n$ pero $2^n+1$ no lo es. (Rusia) Valery Senderov

2 Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ corta a $\Gamma_1$ nuevamente en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados opuestos de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demuestre que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las rectas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

3 Considere un triángulo $ABC$ con alturas $AD$, $BE$ y $CF$, y ortocentro $H$. Sea la recta perpendicular desde $H$ a $EF$ que interseca a $EF$, $AB$ y $AC$ en $P$, $T$ y $L$, respectivamente. El punto $K$ se encuentra en el lado $BC$ tal que $BD=KC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $H$ y $P$, que es tangente a $AH$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ATL$ y $\omega$ son tangentes, y que $KH$ pasa por el punto de tangencia.

Se dan $2021$ puntos en el plano en posición convexa, tales que no hay tres colineales ni cuatro concíclicos. Demuestre que existen dos de ellos tales que todo círculo que pasa por estos dos puntos contiene al menos $673$ de los otros puntos en su interior. (Un conjunto finito de puntos en el plano está en posición convexa si los puntos son los vértices de un polígono convexo.)

2 Sea $f: \mathbb Z^+ \to \mathbb Z$ una función tal que a) $f(p)=1$ para todo primo $p$. b) $f(xy)=xf(y)+yf(x)$ para todo par de enteros positivos $x,y$. Encuentre el menor número $n \ge 2021$ tal que $f(n)=n$.

3 Sea $n$ un entero positivo. Sea $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2, \dots, 3^n \}.$ Para cada subconjunto $X$ de $P_n$, denotamos por $S_X$ la suma de todos los elementos de $X$, con la convención de que $S_{\emptyset}=0$ donde $\emptyset$ es el conjunto vacío. Suponga que $y$ es un número real tal que $0 \leq y \leq 3^{n+1}-2^{n+1}.$ Demuestre que existe un subconjunto $Y$ de $P_n$ tal que $0 \leq y-S_Y < 2^n.$

7 Varios números racionales fueron escritos en la pizarra. Dima anotó sus partes fraccionarias en un papel. Luego, todos los números en la pizarra fueron elevados al cuadrado, y Dima anotó en otro papel las partes fraccionarias de los números resultantes. Resultó que en los papeles de Dima estaban escritos los mismos conjuntos de números (quizás en un orden diferente). Demuestre que los números originales en la pizarra eran enteros. (La parte fraccionaria de un número $x$ es aquel número $\{x\}$, $0 \le \{x\} < 1$, tal que $x-\{x\}$ es un entero).

8 ¿Pueden tres personas, que disponen de una motocicleta biplaza, recorrer una distancia de $70$ km en $3$ horas? La velocidad del peatón es de $5$ km/h y la velocidad de la motocicleta es de $50$ km/h.

3 Sea $ABC$ un triángulo isósceles acutángulo ($AB=BC$) inscrito en un círculo con centro $O$. La recta que pasa por el punto medio de la cuerda $AB$ y el punto $O$ corta a la recta $AC$ en $L$ y al círculo en el punto $P$. Sea la bisectriz del ángulo $BAC$ que corta al círculo en el punto $K$. Las rectas $AB$ y $PK$ se cortan en el punto $D$. Demuestre que los puntos $L, B, D$ y $P$ yacen sobre el mismo círculo.

Los números naturales $1, 2, 3, \dots, 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con razones enteras). Demuestre que $N \ge 31$.