3 Cada entero positivo está coloreado de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de los enteros positivos en sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$, entonces $f(x)\le f(y)$; y (b) si $x, y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$, entonces $f(x)+f(y)=f(z)$. Demuestre que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todo entero positivo $x$. (Reino Unido) Ben Elliott

4 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $2^{2^n+1}+1$ es divisible por $n$ pero $2^n+1$ no lo es. (Rusia) Valery Senderov

5 Dado un entero positivo $n\ge 3$, coloree cada celda de una cuadrícula de $n\times n$ con uno de $\lfloor (n+2)^2/3\rfloor$ colores, utilizando cada color al menos una vez. Demuestre que existe algún subarreglo rectangular de $1\times 3$ o $3\times 1$ cuyas tres celdas estén coloreadas con tres colores diferentes. (Rusia) Ilya Bogdanov, Grigory Chelnokov, Dmitry Khramtsov

3 (a) Dado un tetraedro $ABCD$ y sus cuatro alturas (es decir, las rectas que pasan por cada vértice y son perpendiculares a la cara opuesta), suponga que la altura trazada desde $D$ pasa por el ortocentro $H_4$ del $\triangle ABC$. Demuestre que esta altura $DH_4$ interseca a las otras tres alturas. (b) Si además sabemos que una segunda altura, por ejemplo la que va desde el vértice $A$ a la cara $BCD$, también pasa por el ortocentro $H_1$ del $\triangle BCD$, entonces demuestre que las cuatro alturas son concurrentes y que cada una pasa por el ortocentro del triángulo respectivo. Amir

12 Se debe asignar el número $0$ o $1$ a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos idénticas dos asignaciones que pueden obtenerse una de la otra mediante una rotación en el plano del polígono)? Amir

1 Se sabe que en un conjunto de cinco monedas, tres son auténticas (y tienen el mismo peso), mientras que dos monedas son falsas, cada una de las cuales tiene un peso diferente al de una moneda auténtica. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas en una balanza de dos platillos que se necesita para localizar una moneda auténtica?

1 Considere las sucesiones $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidas seleccionando cualesquiera $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 definiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ |. 1-En el caso particular en que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el inicio de la sucesión, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$. 2-Demuestre que para cada sucesión, existe una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$. 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$, la sucesión resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que la longitud mínima $p$ del periodo descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la sucesión.

2 Diecisiete ciudades son atendidas por cuatro aerolíneas. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos ciudades y que todos los itinerarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir

1 Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son atendidas por diez aerolíneas internacionales $A_1, A_2, \dots, A_{10}$. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualquiera de estas dos localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir

16 Suponga que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos para los cuales $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$. Demuestre que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\] Demuestre que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que, de lo contrario, existen exactamente dos valores de $r$ tales. Amir