2 Diecisiete ciudades son atendidas por cuatro aerolíneas. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos ciudades y que todos los itinerarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir

2 Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ corta a $\Gamma_1$ nuevamente en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados opuestos de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demuestre que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las rectas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

8.5 Demuestre que cada entero $n\ge3$ puede escribirse como una suma de algunos números naturales consecutivos si y solo si no es una potencia de 2

3 (a) Dado un tetraedro $ABCD$ y sus cuatro alturas (es decir, las rectas que pasan por cada vértice y son perpendiculares a la cara opuesta), suponga que la altura trazada desde $D$ pasa por el ortocentro $H_4$ del $\triangle ABC$. Demuestre que esta altura $DH_4$ interseca a las otras tres alturas. (b) Si además sabemos que una segunda altura, por ejemplo la que va desde el vértice $A$ a la cara $BCD$, también pasa por el ortocentro $H_1$ del $\triangle BCD$, entonces demuestre que las cuatro alturas son concurrentes y que cada una pasa por el ortocentro del triángulo respectivo. Amir

3 Tres círculos iguales de radio $r$ pasan cada uno por los centros de los otros dos. ¿Cuál es el área de la intersección común a los tres círculos?

12 Se debe asignar el número $0$ o $1$ a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos idénticas dos asignaciones que pueden obtenerse una de la otra mediante una rotación en el plano del polígono)? Amir

1 Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula de $n \times n$ hay $n^2$ cuadrados unitarios y en estos coloreamos los lados de azul de tal manera que cada cuadrado unitario tenga exactamente un lado azul. a) Encuentre el número máximo de lados unitarios azules que podemos tener en la cuadrícula de $n \times n$. b) Encuentre el número mínimo de lados unitarios azules que podemos tener en la cuadrícula de $n \times n$.

13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales a $p.$ Demuestre que para cada número natural $r$ menor o igual a $p,$ existen dos números (posiblemente iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\] Amir

16 Suponga que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos para los cuales $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$. Demuestre que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\] Demuestre que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que, de lo contrario, existen exactamente dos valores de $r$ tales. Amir

1 Se sabe que en un conjunto de cinco monedas, tres son auténticas (y tienen el mismo peso), mientras que dos monedas son falsas, cada una de las cuales tiene un peso diferente al de una moneda auténtica. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas en una balanza de dos platillos que se necesita para localizar una moneda auténtica?