3 Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$. Sea $M$ el centro del circuncírculo $k$ del triángulo $BDE$. El círculo $k$ corta a la recta $AC$ en los puntos $E$ y $F$. Demuestre que las rectas $FM$, $AD$ y $BC$ concurren en un punto. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 3) Martin N.

3 Considere $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en un círculo. ¿De cuántas formas es posible colorear estos puntos con $p$ colores, de tal manera que cada dos puntos vecinos estén coloreados con dos colores diferentes?

6 Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, de los cuales no hay cuatro que sean coplanares, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$. Un árbol $\mathcal{AB}$ es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un extremo en $\mathcal{A}$ y un extremo en $\mathcal{B}$, y tal que ningún segmento forma una poligonal cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ se transforma en otro de la siguiente manera: elija tres segmentos distintos $A_1B_1$, $B_1A_2$ y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ tales que $A_1$ esté en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$, y elimine el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$. Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$, demuestre que toda sucesión de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible realizar más transformaciones) después de un número finito de pasos.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AC \ne BC$. En el triángulo $ABC$, sea $G$ el baricentro, $I$ el incentro y $O$ su circuncentro. Demuestre que $IG$ es paralelo a $AB$ si y solo si $CI$ es perpendicular a $IO$.

5 Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (distinto de $B$). Demuestre que $\angle OMB=90^{\circ}$.

8 Sea $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos tal que \[a_ia_{i+1} \mid k-a_i^2\] para todo entero $i \ge 1$. Demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que $a_n=a_{n+1}$ para todo entero $n \ge M$.

3 En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$, cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$. Defina $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestre que $A_1$, $B_1$ y $C_1$ son colineales.

2 En una palabra de más de $10$ letras, cualesquiera dos letras consecutivas son diferentes. Demuestre que se pueden intercambiar dos letras consecutivas de modo que la palabra resultante no sea periódica, es decir, que no pueda dividirse en subpalabras iguales.

18 Para cualquier entero $r \geq 1$, determine el entero más pequeño $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existan enteros $a \geq 0$ y $1 \leq x \leq y$ tales que $a + x$, $a + y$ y $a + x + y$ pertenezcan a la misma clase. Propuesto por Rumanía Amir

1 Sea $f$ una función que satisface las siguientes condiciones: $(i)$ Si $x > y$ y $f(y) - y \geq v \geq f(x) - x$, entonces $f(z) = v + z$, para algún número $z$ entre $x$ e $y$. $(ii)$ La ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución, y entre las soluciones de esta ecuación, hay una que no es menor que todas las demás soluciones; $(iii)$ $f(0) = 1$. $(iv)$ $f(1987) \leq 1988$. $(v)$ $f(x)f(y) = f(xf(y) + yf(x) - xy)$. Encuentre $f(1987)$. Propuesto por Australia. Amir