3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para todo $x,y \in \mathbb{R}-\{0\}$, $$ f(x) \neq 0 \text{ y } \frac{f(x)}{f(y)} + \frac{f(y)}{f(x)} - f \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right) =2 $$

10 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros que satisface lo siguiente: el grado de $P(x)$ es a lo sumo $2^n - n - 1$ y $|P(k)| = (k-1)!(2^n-k)!$ para cada $k \in \{1,2,3,\dots,2^n\}$.

1 Determine todos los pares $(a,b) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ de números complejos que satisfacen $|a|=|b|=1$ y $a+b+a\overline{b} \in \mathbb{R}$.

2 Para $n=1,2,\dots$ sea \[S_n=\log\left(\sqrt[n^2]{1^1 \cdot 2^2 \cdot \dotsc \cdot n^n}\right)-\log(\sqrt{n}),\] donde $\log$ denota el logaritmo natural. Encuentre $\lim_{n \to \infty} S_n$.

5 Sea $P$ un polígono formado por los bordes de un tablero de ajedrez infinito, que no se interseca a sí mismo. Sean los números $a_1,a_2,a_3$ los que representan la cantidad de cuadrados unitarios que tienen exactamente $1, 2 \text{ o } 3$ bordes en el límite de $P$, respectivamente. Encuentre el número real $k$ más grande tal que la desigualdad $a_1+a_2>ka_3$ se cumpla para cada polígono construido bajo estas condiciones.

4 Sean $g$ y $h$ dos elementos distintos de un grupo $G$, y sea $n$ un entero positivo. Considere una sucesión $w=(w_1,w_2,\dots)$ que no es eventualmente periódica y donde cada $w_i$ es $g$ o $h$. Denotemos por $H$ al subgrupo de $G$ generado por todos los elementos de la forma $w_kw_{k+1}\dots w_{k+n-1}$ con $k \ge 1$. Demuestre que $H$ no depende de la elección de la sucesión $w$ (pero puede depender de $n$).

9 Sea \(n\) un entero positivo. Para cada entero positivo $1 \leq k \leq n$ se define la sucesión ${\displaystyle {\{ a_{i}+ki\}}_{i=1}^{n }}$, donde $a_1,a_2, \dots ,a_n$ son enteros. Entre estas \(n\) sucesiones, ¿para cuántas de ellas, como máximo, todos los elementos de la sucesión dan restos diferentes al ser divididos por \(n\)?

1 En un grafo completo con $2025$ vértices, cada arista tiene uno de los colores $r_1$, $r_2$ o $r_3$. Para cada $i = 1,2,3$, si los $2025$ vértices pueden dividirse en $a_i$ grupos tales que cualesquiera dos vértices conectados por una arista de color $r_i$ estén en grupos diferentes, encuentre el valor mínimo posible de $a_1 + a_2 + a_3$.