2016 Egmo 2016 P5
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Stefan4024 129 publicaciones Stefan4024 #1 h 13 de abril de 2016, 6:22 a. m. • 7 Y Y por doxuanlong15052000, anantmudgal09, rashah76, HWenslawski, Adventure10, Mango247, cubres Sean $k$ y $n$ enteros tales que $k\ge 2$ y $k \le n \le 2k-1$. Coloque fichas rectangulares, cada una de tamaño $1 \times k$ o $k \times 1$, en un tablero de ajedrez de $n \times n$ de modo que cada ficha cubra exactamente $k$ celdas y no haya dos fichas que se superpongan. Haga esto hasta que no se pueda colocar ninguna otra ficha de esta manera. Para cada uno de estos $k$ y $n$, determine el número mínimo de fichas que tal disposición puede contener. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por v_Enhance, 25 de abril de 2016, 3:26 p. m. Razón: "od size" -> "of size" Z K Y
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2016 Egmo 2016 P3
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 12 de abr. de 2016, 7:56 a. m. • 6 Y Y por Zezohabibullah, anantmudgal09, DrinkWater1, doxuanlong15052000, Adventure10, Mango247 Sea $m$ un entero positivo. Considere una cuadrícula de $4m\times 4m$ de celdas unitarias cuadradas. Dos celdas diferentes están relacionadas entre sí si se encuentran en la misma fila o en la misma columna. Ninguna celda está relacionada consigo misma. Algunas celdas están coloreadas de azul, de tal manera que cada celda está relacionada con al menos dos celdas azules. Determine el número mínimo de celdas azules. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por Eternica, 12 de mar. de 2023, 3:47 a. m. Z K Y
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Junior Balkan Mojbmo Tests By Year P2
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. X.Allaberdiyev 117 publicaciones X.Allaberdiyev #1 h 26 de junio de 2025, 5:01 a. m. • 5 Y Y por NuMBeRaToRiC, AylyGayypow009, X.Luser, farhad.fritl, AbdulWaheed Determine todos los números de la forma $$20252025... 2025$$ (que consisten en uno o más bloques consecutivos de $2025$ ) que sean cuadrados perfectos de enteros positivos. Propuesto por Ognjen Tešić, Serbia Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por X.Allaberdiyev, 26 de junio de 2025, 11:02 p. m. Z K Y
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2016 Egmo 2016 P4
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Stefan4024 129 publicaciones Stefan4024 #1 h 13 de abr. de 2016, 6:18 a. m. • 10 Y Y por fffggghhh, junioragd, HWenslawski, mathematicsy, Adventure10, Mango247, OronSH, Rounak_iitr, FunnyKoala17, cubres Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$, de igual radio, se cortan en puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Considere un círculo $\omega$ tangente externamente a $\omega_1$ en $T_1$ y tangente internamente a $\omega_2$ en el punto $T_2$. Demuestre que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se cortan en un punto que yace sobre $\omega$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por djmathman, 11 de sep. de 2020, 8:59 p. m. Z K Y
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1998 May Olympiad P1
1 Con seis varillas se construye una pieza como la que se muestra en la figura. Las tres varillas exteriores son iguales entre sí. Las tres varillas interiores son iguales entre sí. Se desea pintar cada varilla de un solo color de tal manera que, en cada punto de unión, las tres varillas que llegan tengan un color diferente. Las varillas solo pueden pintarse de azul, blanco, rojo o verde. ¿De cuántas formas se puede pintar la pieza? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/1/91e6b388498613486477ab6b51735055e920cc.gif
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P9
9 Una matriz $A=(a_{ij})$ se denomina agradable si posee las siguientes propiedades: (i) el conjunto de todas las entradas de $A$ es $\{1,2,\dots,2t\}$ para algún entero $t$; (ii) las entradas son no decrecientes en cada fila y en cada columna: $a_{i,j} \le a_{i,j+1}$ y $a_{i,j} \le a_{i+1,j}$; (iii) las entradas iguales solo pueden aparecer en la misma fila o en la misma columna: si $a_{i,j}=a_{k,\ell}$, entonces $i=k$ o $j=\ell$; (iv) para cada $s=1,2,\dots,2t-1$, existen $i \ne k$ y $j \ne \ell$ tales que $a_{i,j}=s$ y $a_{k,\ell}=s+1$. Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$, el número de matrices agradables de $m \times n$ es par. Por ejemplo, las únicas dos matrices agradables de $2 \times 3$ son $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\2 & 4 & 4 \end{pmatrix}$.
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2023 Eamofirst East African Mathematics Olympiad P5
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 12:53 PM • 1 Y Y por cubres Resuelva el sistema de ecuaciones para números reales no negativos $x, y, z$ y $t$ $$\begin{cases}x =\dfrac{\sqrt[3]{yzt}}{y + z + t} \\ y=\dfrac{\sqrt[3]{xzt}}{x+z+t} \\ z=\dfrac{\sqrt[3]{xyt}}{x+y+t}\\ t=\dfrac{\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z} \end{cases} $$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 12:58 PM Z K Y
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VU MIF Olympiad - geometry problems from MIF, Vilnius University, Lithuania , source: http://mif.vu.lt/matematikos-olimpiados/mif/ P2024
2024.11.2 Desde un punto $A$, se traza una secante a un círculo, que lo corta en los puntos $B$ y $C$, con $AB < AC$ y $AB : BC = 2:3$. Las tangentes al círculo trazadas desde el punto $A$ lo tocan en los puntos $M$ y $N$. ¿En qué razón divide la cuerda $MN$ al segmento $BC$?
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2005 APMO 2005 P4
4 En un pueblo pequeño, hay $n \times n$ casas indexadas por $(i, j)$ para $1 \leq i, j \leq n$, donde $(1, 1)$ es la casa en la esquina superior izquierda, y $i$ y $j$ son los índices de fila y columna, respectivamente. En el tiempo 0, se desata un incendio en la casa indexada por $(1, c)$, donde $c \leq \frac{n}{2}$. Durante cada intervalo de tiempo subsiguiente $[t, t+1]$, los bomberos defienden una casa que aún no está en llamas, mientras que el fuego se extiende a todos los vecinos no defendidos de cada casa que estaba en llamas en el tiempo $t$. Una vez que una casa es defendida, permanece así todo el tiempo. El proceso termina cuando el fuego ya no puede extenderse. ¿Como máximo cuántas casas pueden ser salvadas por los bomberos? Una casa indexada por $(i, j)$ es vecina de una casa indexada por $(k, l)$ si $|i - k| + |j - l|=1$.
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2005 APMO 2005 P5
5 En un triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ están en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $MB = BC = CN$. Sean $R$ y $r$ el circunradio y el inradio del triángulo $ABC$, respectivamente. Exprese la razón $MN/BC$ en términos de $R$ y $r$.
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