1–10 1. Sea $A(t)$ el área delimitada por la curva $y = e^{-|x|}$, el eje $X$ y las rectas $x = -t, x = t$, entonces $\lim_{t \to \infty} A(t)$ es $\textbf{(A)}\; 2 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 1/2 \quad \textbf{(D)}\; e.$ 2. ¿Cuántas ternas de números reales $(x, y, z)$ son soluciones comunes de las ecuaciones $x + y = 2, \quad xy - z^2 = 1?$ $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 2 \quad \textbf{(D)}\; \text{infinitas.}$ 3. Para enteros no negativos $x, y$ la función $f(x, y)$ satisface las relaciones $f(x, 0) = x$ y $f(x, y + 1) = f(f(x, y), y)$. Entonces, ¿cuál de los siguientes es el mayor? $\textbf{(A)}\; f(10, 15) \quad \textbf{(B)}\; f(12, 13) \quad \textbf{(C)}\; f(13, 12) \quad \textbf{(D)}\; f(14, 11).$ 4. Suponga que $p, q, r, s$ son $1, 2, 3, 4$ en algún orden. Sea $x = \cfrac{1}{p + \cfrac{1}{q + \cfrac{1}{r + \cfrac{1}{s}}}}$ Elegimos $p, q, r, s$ de modo que $x$ sea lo más grande posible, entonces $s$ es $\textbf{(A)}\; 1 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; 4.$ 5. Sea $f(x) = \begin{cases} 3x + x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^3 + x^2 & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$ Entonces $f''(0)$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; \text{Ninguna de estas.}$ 6. Hay 8 equipos en la liga pro-kabaddi. Cada equipo juega contra todos los demás exactamente una vez. Suponga que cada juego resulta en una victoria, es decir, no hay empates. Sean $w_1, w_2, \dots, w_8$ el número de victorias y $l_1, l_2, \dots, l_8$ el número de derrotas de los equipos $T_1, T_2, \dots, T_8$, entonces $\textbf{(A)}\; w_1^2 + \dots + w_8^2 = 49 + (l_1^2 + \dots + l_8^2).$ $\textbf{(B)}\; w_1^2 + \dots + w_8^2 = l_1^2 + \dots + l_8^2.$ $\textbf{(C)}\; w_1^2 + \dots + w_8^2 = 49 - (l_1^2 + \dots + l_8^2).$ $\textbf{(D)}\; \text{Ninguna de estas.}$ 7. El resto cuando $m + n$ se divide por 12 es 8, y el resto cuando $m - n$ se divide por 12 es 6. Si $m > n$, entonces el resto cuando $mn$ se divide por 6 es $\textbf{(A)}\; 1 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; 4.$ 8. Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ n + 1 & n + 2 & \dots & 2n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (n - 1)n + 1 & (n - 1)n + 2 & \dots & n^2 \end{pmatrix}$. Seleccione cualquier entrada y llámela $x_1$. Elimine la fila y la columna que contienen a $x_1$ para obtener una matriz de $(n - 1) \times (n - 1)$. Luego seleccione cualquier entrada de las entradas restantes y llámela $x_2$. Elimine la fila y la columna que contienen a $x_2$ para obtener una matriz de $(n - 2) \times (n - 2)$. Realice $n$ pasos de este tipo. Entonces $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ es $\textbf{(A)}\; n \quad \textbf{(B)}\; \dfrac{n(n + 1)}{2} \quad \textbf{(C)}\; \dfrac{n(n^2 + 1)}{2} \quad \textbf{(D)}\; \text{Ninguna de estas.}$ 9. El máximo de las áreas de los rectángulos inscritos en la región delimitada por la curva $y = 3 - x^2$ y el eje $X$ es $\textbf{(A)}\; 4 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; 2.$ 10. ¿Cuántos factores de $2^5 3^6 5^2$ son cuadrados perfectos? $\textbf{(A)}\; 24 \quad \textbf{(B)}\; 20 \quad \textbf{(C)}\; 30 \quad \textbf{(D)}\; 36.$

10 Decimos que un entero positivo libre de cuadrados $n$ es casi primo si \[n \mid x^{d_1}+x^{d_2}+\dots+x^{d_k}-kx\] para todo entero $x$, donde $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ son todos los divisores positivos de $n$. Suponga que $r$ es un primo de Fermat (es decir, es un primo de la forma $2^{2^m}+1$ para un entero $m \ge 0$), $p$ es un divisor primo de un entero casi primo $n$, y $p \equiv 1 \pmod{r}$. Demuestre que, con la notación anterior, $d_i \equiv 1 \pmod{r}$ para todo $1 \le i \le k$. (Un entero $n$ se llama libre de cuadrados si no es divisible por $d^2$ para ningún entero $d>1$.)

9 Una matriz $A=(a_{ij})$ se denomina agradable si posee las siguientes propiedades: (i) el conjunto de todas las entradas de $A$ es $\{1,2,\dots,2t\}$ para algún entero $t$; (ii) las entradas son no decrecientes en cada fila y en cada columna: $a_{i,j} \le a_{i,j+1}$ y $a_{i,j} \le a_{i+1,j}$; (iii) las entradas iguales solo pueden aparecer en la misma fila o en la misma columna: si $a_{i,j}=a_{k,\ell}$, entonces $i=k$ o $j=\ell$; (iv) para cada $s=1,2,\dots,2t-1$, existen $i \ne k$ y $j \ne \ell$ tales que $a_{i,j}=s$ y $a_{k,\ell}=s+1$. Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$, el número de matrices agradables de $m \times n$ es par. Por ejemplo, las únicas dos matrices agradables de $2 \times 3$ son $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\2 & 4 & 4 \end{pmatrix}$.

8 Defina la sucesión $x_1,x_2,\dots$ mediante los términos iniciales $x_1=2, x_2=4$ y la relación de recurrencia \[x_{n+2}=3x_{n+1}-2x_n+\frac{2^n}{x_n} \quad \text{para} \quad n \ge 1.\] Demuestre que $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n}$ existe y satisface \[\frac{1+\sqrt{3}}{2} \le \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n} \le \frac{3}{2}.\]

6 Para cualesquiera números reales $a$ y $b>0$, defina una extensión de un intervalo $[a-b,a+b] \subseteq \mathbb{R}$ como $[a-2b, a+2b]$. Decimos que $P_1, P_2, \ldots, P_k$ cubren el conjunto $X$ si $X \subseteq P_1 \cup P_2 \cup \ldots \cup P_k$. Demuestre que existe un entero $M$ con la siguiente propiedad: para todo subconjunto finito $A \subseteq \mathbb{R}$, existe un subconjunto $B \subseteq A$ con a lo sumo $M$ números, tal que para todo conjunto de $100$ intervalos cerrados que cubren a $B$, sus extensiones cubren a $A$.